Grundlegende Mathematik Beispiele

$(\frac{1}{a^{2} + 5}) - (\frac{a^{2} - 5}{{(a^{2} + 5)}^{2}}) + \frac{1}{a^{2} - 5}$

Schritt 1

Um $\frac{1}{a^{2} + 5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{a^{2} + 5}{a^{2} + 5}$ .

$\frac{1}{a^{2} + 5} \cdot \frac{a^{2} + 5}{a^{2} + 5} - \frac{a^{2} - 5}{{(a^{2} + 5)}^{2}} + \frac{1}{a^{2} - 5}$

Schritt 2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von ${(a^{2} + 5)}^{2}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{a^{2} + 5}$ mit $\frac{a^{2} + 5}{a^{2} + 5}$ .

$\frac{a^{2} + 5}{(a^{2} + 5) (a^{2} + 5)} - \frac{a^{2} - 5}{{(a^{2} + 5)}^{2}} + \frac{1}{a^{2} - 5}$

Schritt 2.2

Potenziere $a^{2} + 5$ mit $1$ .

$\frac{a^{2} + 5}{{(a^{2} + 5)}^{1} (a^{2} + 5)} - \frac{a^{2} - 5}{{(a^{2} + 5)}^{2}} + \frac{1}{a^{2} - 5}$

Schritt 2.3

Potenziere $a^{2} + 5$ mit $1$ .

$\frac{a^{2} + 5}{{(a^{2} + 5)}^{1} {(a^{2} + 5)}^{1}} - \frac{a^{2} - 5}{{(a^{2} + 5)}^{2}} + \frac{1}{a^{2} - 5}$

Schritt 2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{a^{2} + 5}{{(a^{2} + 5)}^{1 + 1}} - \frac{a^{2} - 5}{{(a^{2} + 5)}^{2}} + \frac{1}{a^{2} - 5}$

Schritt 2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{a^{2} + 5}{{(a^{2} + 5)}^{2}} - \frac{a^{2} - 5}{{(a^{2} + 5)}^{2}} + \frac{1}{a^{2} - 5}$

Schritt 3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{a^{2} + 5 - (a^{2} - 5)}{{(a^{2} + 5)}^{2}} + \frac{1}{a^{2} - 5}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a^{2} + 5 - a^{2} - - 5}{{(a^{2} + 5)}^{2}} + \frac{1}{a^{2} - 5}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$\frac{a^{2} + 5 - a^{2} + 5}{{(a^{2} + 5)}^{2}} + \frac{1}{a^{2} - 5}$

Schritt 4.3

Subtrahiere $a^{2}$ von $a^{2}$ .

$\frac{0 + 5 + 5}{{(a^{2} + 5)}^{2}} + \frac{1}{a^{2} - 5}$

Schritt 4.4

Addiere $0$ und $5$ .

$\frac{5 + 5}{{(a^{2} + 5)}^{2}} + \frac{1}{a^{2} - 5}$

Schritt 4.5

Addiere $5$ und $5$ .

$\frac{10}{{(a^{2} + 5)}^{2}} + \frac{1}{a^{2} - 5}$

Schritt 5

Um $\frac{10}{{(a^{2} + 5)}^{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{a^{2} - 5}{a^{2} - 5}$ .

$\frac{10}{{(a^{2} + 5)}^{2}} \cdot \frac{a^{2} - 5}{a^{2} - 5} + \frac{1}{a^{2} - 5}$

Schritt 6

Um $\frac{1}{a^{2} - 5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(a^{2} + 5)}^{2}}{{(a^{2} + 5)}^{2}}$ .

$\frac{10}{{(a^{2} + 5)}^{2}} \cdot \frac{a^{2} - 5}{a^{2} - 5} + \frac{1}{a^{2} - 5} \cdot \frac{{(a^{2} + 5)}^{2}}{{(a^{2} + 5)}^{2}}$

Schritt 7

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(a^{2} - 5) {(a^{2} + 5)}^{2}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $\frac{10}{{(a^{2} + 5)}^{2}}$ mit $\frac{a^{2} - 5}{a^{2} - 5}$ .

$\frac{10 (a^{2} - 5)}{{(a^{2} + 5)}^{2} (a^{2} - 5)} + \frac{1}{a^{2} - 5} \cdot \frac{{(a^{2} + 5)}^{2}}{{(a^{2} + 5)}^{2}}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $\frac{1}{a^{2} - 5}$ mit $\frac{{(a^{2} + 5)}^{2}}{{(a^{2} + 5)}^{2}}$ .

$\frac{10 (a^{2} - 5)}{{(a^{2} + 5)}^{2} (a^{2} - 5)} + \frac{{(a^{2} + 5)}^{2}}{(a^{2} - 5) {(a^{2} + 5)}^{2}}$

Schritt 7.3

Stelle die Faktoren von $(a^{2} - 5) {(a^{2} + 5)}^{2}$ um.

$\frac{10 (a^{2} - 5)}{{(a^{2} + 5)}^{2} (a^{2} - 5)} + \frac{{(a^{2} + 5)}^{2}}{{(a^{2} + 5)}^{2} (a^{2} - 5)}$

Schritt 8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{10 (a^{2} - 5) + {(a^{2} + 5)}^{2}}{{(a^{2} + 5)}^{2} (a^{2} - 5)}$

Schritt 9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{10 a^{2} + 10 \cdot - 5 + {(a^{2} + 5)}^{2}}{{(a^{2} + 5)}^{2} (a^{2} - 5)}$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $10$ mit $- 5$ .

$\frac{10 a^{2} - 50 + {(a^{2} + 5)}^{2}}{{(a^{2} + 5)}^{2} (a^{2} - 5)}$

Schritt 9.3

Schreibe ${(a^{2} + 5)}^{2}$ als $(a^{2} + 5) (a^{2} + 5)$ um.

$\frac{10 a^{2} - 50 + (a^{2} + 5) (a^{2} + 5)}{{(a^{2} + 5)}^{2} (a^{2} - 5)}$

Schritt 9.4

Multipliziere $(a^{2} + 5) (a^{2} + 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 9.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{10 a^{2} - 50 + a^{2} (a^{2} + 5) + 5 (a^{2} + 5)}{{(a^{2} + 5)}^{2} (a^{2} - 5)}$

Schritt 9.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{10 a^{2} - 50 + a^{2} a^{2} + a^{2} \cdot 5 + 5 (a^{2} + 5)}{{(a^{2} + 5)}^{2} (a^{2} - 5)}$

Schritt 9.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{10 a^{2} - 50 + a^{2} a^{2} + a^{2} \cdot 5 + 5 a^{2} + 5 \cdot 5}{{(a^{2} + 5)}^{2} (a^{2} - 5)}$

Schritt 9.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 9.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.5.1.1

Multipliziere $a^{2}$ mit $a^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 9.5.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{10 a^{2} - 50 + a^{2 + 2} + a^{2} \cdot 5 + 5 a^{2} + 5 \cdot 5}{{(a^{2} + 5)}^{2} (a^{2} - 5)}$

Schritt 9.5.1.1.2

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{10 a^{2} - 50 + a^{4} + a^{2} \cdot 5 + 5 a^{2} + 5 \cdot 5}{{(a^{2} + 5)}^{2} (a^{2} - 5)}$

Schritt 9.5.1.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $a^{2}$ .

$\frac{10 a^{2} - 50 + a^{4} + 5 \cdot a^{2} + 5 a^{2} + 5 \cdot 5}{{(a^{2} + 5)}^{2} (a^{2} - 5)}$

Schritt 9.5.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$\frac{10 a^{2} - 50 + a^{4} + 5 a^{2} + 5 a^{2} + 25}{{(a^{2} + 5)}^{2} (a^{2} - 5)}$

Schritt 9.5.2

Addiere $5 a^{2}$ und $5 a^{2}$ .

$\frac{10 a^{2} - 50 + a^{4} + 10 a^{2} + 25}{{(a^{2} + 5)}^{2} (a^{2} - 5)}$

Schritt 9.6

Addiere $10 a^{2}$ und $10 a^{2}$ .

$\frac{20 a^{2} - 50 + a^{4} + 25}{{(a^{2} + 5)}^{2} (a^{2} - 5)}$

Schritt 9.7

Addiere $- 50$ und $25$ .

$\frac{20 a^{2} + a^{4} - 25}{{(a^{2} + 5)}^{2} (a^{2} - 5)}$

Schritt 9.8

Stelle die Terme um.

$\frac{a^{4} + 20 a^{2} - 25}{{(a^{2} + 5)}^{2} (a^{2} - 5)}$