Grundlegende Mathematik Beispiele

$(\frac{p^{2} + q^{2}}{p q} - \frac{p^{2}}{p q + q^{2}} - \frac{q^{2}}{p^{2} + p q}) \div \frac{3}{p q}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$(\frac{p^{2} + q^{2}}{p q} - \frac{p^{2}}{p q + q^{2}} - \frac{q^{2}}{p^{2} + p q}) \frac{p q}{3}$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $q$ aus $p q + q^{2}$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $q$ aus $p q$ heraus.

$(\frac{p^{2} + q^{2}}{p q} - \frac{p^{2}}{q p + q^{2}} - \frac{q^{2}}{p^{2} + p q}) \frac{p q}{3}$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $q$ aus $q^{2}$ heraus.

$(\frac{p^{2} + q^{2}}{p q} - \frac{p^{2}}{q p + q \cdot q} - \frac{q^{2}}{p^{2} + p q}) \frac{p q}{3}$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $q$ aus $q p + q \cdot q$ heraus.

$(\frac{p^{2} + q^{2}}{p q} - \frac{p^{2}}{q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p^{2} + p q}) \frac{p q}{3}$

Schritt 2.2

Faktorisiere $p$ aus $p^{2} + p q$ heraus.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $p$ aus $p^{2}$ heraus.

$(\frac{p^{2} + q^{2}}{p q} - \frac{p^{2}}{q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p \cdot p + p q}) \frac{p q}{3}$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere $p$ aus $p q$ heraus.

$(\frac{p^{2} + q^{2}}{p q} - \frac{p^{2}}{q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p \cdot p + p (q)}) \frac{p q}{3}$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere $p$ aus $p \cdot p + p (q)$ heraus.

$(\frac{p^{2} + q^{2}}{p q} - \frac{p^{2}}{q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Schritt 3

Um $\frac{p^{2} + q^{2}}{p q}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{p + q}{p + q}$ .

$(\frac{p^{2} + q^{2}}{p q} \cdot \frac{p + q}{p + q} - \frac{p^{2}}{q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Schritt 4

Um $- \frac{p^{2}}{q (p + q)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{p}{p}$ .

$(\frac{p^{2} + q^{2}}{p q} \cdot \frac{p + q}{p + q} - \frac{p^{2}}{q (p + q)} \cdot \frac{p}{p} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Schritt 5

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $p q (p + q)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $\frac{p^{2} + q^{2}}{p q}$ mit $\frac{p + q}{p + q}$ .

$(\frac{(p^{2} + q^{2}) (p + q)}{p q (p + q)} - \frac{p^{2}}{q (p + q)} \cdot \frac{p}{p} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $\frac{p^{2}}{q (p + q)}$ mit $\frac{p}{p}$ .

$(\frac{(p^{2} + q^{2}) (p + q)}{p q (p + q)} - \frac{p^{2} p}{q (p + q) p} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Schritt 5.3

Stelle die Faktoren von $q (p + q) p$ um.

$(\frac{(p^{2} + q^{2}) (p + q)}{p q (p + q)} - \frac{p^{2} p}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$(\frac{(p^{2} + q^{2}) (p + q) - p^{2} p}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Schritt 7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Multipliziere $(p^{2} + q^{2}) (p + q)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 7.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(\frac{p^{2} (p + q) + q^{2} (p + q) - p^{2} p}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Schritt 7.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(\frac{p^{2} p + p^{2} q + q^{2} (p + q) - p^{2} p}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Schritt 7.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(\frac{p^{2} p + p^{2} q + q^{2} p + q^{2} q - p^{2} p}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Schritt 7.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1.2.1

Multipliziere $p^{2}$ mit $p$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.1.2.1.1

Mutltipliziere $p^{2}$ mit $p$ .

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Schritt 7.1.2.1.1.1

Potenziere $p$ mit $1$ .

$(\frac{p^{2} p^{1} + p^{2} q + q^{2} p + q^{2} q - p^{2} p}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Schritt 7.1.2.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(\frac{p^{2 + 1} + p^{2} q + q^{2} p + q^{2} q - p^{2} p}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Schritt 7.1.2.1.2

Addiere $2$ und $1$ .

$(\frac{p^{3} + p^{2} q + q^{2} p + q^{2} q - p^{2} p}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Schritt 7.1.2.2

Multipliziere $q^{2}$ mit $q$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.1.2.2.1

Mutltipliziere $q^{2}$ mit $q$ .

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Schritt 7.1.2.2.1.1

Potenziere $q$ mit $1$ .

$(\frac{p^{3} + p^{2} q + q^{2} p + q^{2} q^{1} - p^{2} p}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Schritt 7.1.2.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(\frac{p^{3} + p^{2} q + q^{2} p + q^{2 + 1} - p^{2} p}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Schritt 7.1.2.2.2

Addiere $2$ und $1$ .

$(\frac{p^{3} + p^{2} q + q^{2} p + q^{3} - p^{2} p}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Schritt 7.1.3

Multipliziere $p^{2}$ mit $p$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.1.3.1

Bewege $p$ .

$(\frac{p^{3} + p^{2} q + q^{2} p + q^{3} - (p \cdot p^{2})}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Schritt 7.1.3.2

Mutltipliziere $p$ mit $p^{2}$ .

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Schritt 7.1.3.2.1

Potenziere $p$ mit $1$ .

$(\frac{p^{3} + p^{2} q + q^{2} p + q^{3} - (p^{1} p^{2})}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Schritt 7.1.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(\frac{p^{3} + p^{2} q + q^{2} p + q^{3} - p^{1 + 2}}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Schritt 7.1.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$(\frac{p^{3} + p^{2} q + q^{2} p + q^{3} - p^{3}}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Schritt 7.1.4

Subtrahiere $p^{3}$ von $p^{3}$ .

$(\frac{p^{2} q + q^{2} p + q^{3} + 0}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Schritt 7.1.5

Addiere $p^{2} q + q^{2} p + q^{3}$ und $0$ .

$(\frac{p^{2} q + q^{2} p + q^{3}}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Schritt 7.1.6

Faktorisiere $q$ aus $p^{2} q + q^{2} p + q^{3}$ heraus.

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Schritt 7.1.6.1

Faktorisiere $q$ aus $p^{2} q$ heraus.

$(\frac{q p^{2} + q^{2} p + q^{3}}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Schritt 7.1.6.2

Faktorisiere $q$ aus $q^{2} p$ heraus.

$(\frac{q p^{2} + q (q p) + q^{3}}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Schritt 7.1.6.3

Faktorisiere $q$ aus $q^{3}$ heraus.

$(\frac{q p^{2} + q (q p) + q \cdot q^{2}}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Schritt 7.1.6.4

Faktorisiere $q$ aus $q p^{2} + q (q p)$ heraus.

$(\frac{q (p^{2} + q p) + q \cdot q^{2}}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Schritt 7.1.6.5

Faktorisiere $q$ aus $q (p^{2} + q p) + q \cdot q^{2}$ heraus.

$(\frac{q (p^{2} + q p + q^{2})}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $q$ .

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(\frac{q (p^{2} + q p + q^{2})}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Schritt 7.2.2

Forme den Ausdruck um.

$(\frac{p^{2} + q p + q^{2}}{p (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Schritt 8

Vereinfache Terme.

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Schritt 8.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{p^{2} + q p + q^{2} - q^{2}}{p (p + q)} \cdot \frac{p q}{3}$

Schritt 8.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $p^{2} + q p + q^{2} - q^{2}$ .

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Schritt 8.2.1

Subtrahiere $q^{2}$ von $q^{2}$ .

$\frac{p^{2} + q p + 0}{p (p + q)} \cdot \frac{p q}{3}$

Schritt 8.2.2

Addiere $p^{2} + q p$ und $0$ .

$\frac{p^{2} + q p}{p (p + q)} \cdot \frac{p q}{3}$

Schritt 8.3

Faktorisiere $p$ aus $p^{2} + q p$ heraus.

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Schritt 8.3.1

Faktorisiere $p$ aus $p^{2}$ heraus.

$\frac{p \cdot p + q p}{p (p + q)} \cdot \frac{p q}{3}$

Schritt 8.3.2

Faktorisiere $p$ aus $q p$ heraus.

$\frac{p \cdot p + p q}{p (p + q)} \cdot \frac{p q}{3}$

Schritt 8.3.3

Faktorisiere $p$ aus $p \cdot p + p q$ heraus.

$\frac{p (p + q)}{p (p + q)} \cdot \frac{p q}{3}$

Schritt 9

Kürze den gemeinsamen Faktor.

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Schritt 9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $p$ .

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Schritt 9.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{p (p + q)}{p (p + q)} \cdot \frac{p q}{3}$

Schritt 9.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{p + q}{p + q} \cdot \frac{p q}{3}$

Schritt 9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $p + q$ .

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Schritt 9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{p + q}{p + q} \cdot \frac{p q}{3}$

Schritt 9.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 \frac{p q}{3}$

Schritt 10

Mutltipliziere $\frac{p q}{3}$ mit $1$ .

$\frac{p q}{3}$