Grundlegende Mathematik Beispiele

$(\frac{7 a + 14 a^{2}}{9 a^{2} + 6 a + 1}) (\frac{6 a^{2} + 5 a + 1}{4 a^{2} - 1})$

Schritt 1

Faktorisiere $7 a$ aus $7 a + 14 a^{2}$ heraus.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $7 a$ aus $7 a$ heraus.

$\frac{7 a (1) + 14 a^{2}}{9 a^{2} + 6 a + 1} \cdot \frac{6 a^{2} + 5 a + 1}{4 a^{2} - 1}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $7 a$ aus $14 a^{2}$ heraus.

$\frac{7 a (1) + 7 a (2 a)}{9 a^{2} + 6 a + 1} \cdot \frac{6 a^{2} + 5 a + 1}{4 a^{2} - 1}$

Schritt 1.3

Faktorisiere $7 a$ aus $7 a (1) + 7 a (2 a)$ heraus.

$\frac{7 a (1 + 2 a)}{9 a^{2} + 6 a + 1} \cdot \frac{6 a^{2} + 5 a + 1}{4 a^{2} - 1}$

Schritt 2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.1

Schreibe $9 a^{2}$ als ${(3 a)}^{2}$ um.

$\frac{7 a (1 + 2 a)}{{(3 a)}^{2} + 6 a + 1} \cdot \frac{6 a^{2} + 5 a + 1}{4 a^{2} - 1}$

Schritt 2.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{7 a (1 + 2 a)}{{(3 a)}^{2} + 6 a + 1^{2}} \cdot \frac{6 a^{2} + 5 a + 1}{4 a^{2} - 1}$

Schritt 2.3

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$6 a = 2 \cdot (3 a) \cdot 1$

Schritt 2.4

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{7 a (1 + 2 a)}{{(3 a)}^{2} + 2 \cdot (3 a) \cdot 1 + 1^{2}} \cdot \frac{6 a^{2} + 5 a + 1}{4 a^{2} - 1}$

Schritt 2.5

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = 3 a$ und $b = 1$ .

$\frac{7 a (1 + 2 a)}{{(3 a + 1)}^{2}} \cdot \frac{6 a^{2} + 5 a + 1}{4 a^{2} - 1}$

Schritt 3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 6 \cdot 1 = 6$ und deren Summe gleich $b = 5$ ist.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $5$ aus $5 a$ heraus.

$\frac{7 a (1 + 2 a)}{{(3 a + 1)}^{2}} \cdot \frac{6 a^{2} + 5 (a) + 1}{4 a^{2} - 1}$

Schritt 3.1.2

Schreibe $5$ um als $2$ plus $3$

$\frac{7 a (1 + 2 a)}{{(3 a + 1)}^{2}} \cdot \frac{6 a^{2} + (2 + 3) a + 1}{4 a^{2} - 1}$

Schritt 3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{7 a (1 + 2 a)}{{(3 a + 1)}^{2}} \cdot \frac{6 a^{2} + 2 a + 3 a + 1}{4 a^{2} - 1}$

Schritt 3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{7 a (1 + 2 a)}{{(3 a + 1)}^{2}} \cdot \frac{(6 a^{2} + 2 a) + 3 a + 1}{4 a^{2} - 1}$

Schritt 3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{7 a (1 + 2 a)}{{(3 a + 1)}^{2}} \cdot \frac{2 a (3 a + 1) + 1 (3 a + 1)}{4 a^{2} - 1}$

Schritt 3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 a + 1$ .

$\frac{7 a (1 + 2 a)}{{(3 a + 1)}^{2}} \cdot \frac{(3 a + 1) (2 a + 1)}{4 a^{2} - 1}$

Schritt 4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1

Schreibe $4 a^{2}$ als ${(2 a)}^{2}$ um.

$\frac{7 a (1 + 2 a)}{{(3 a + 1)}^{2}} \cdot \frac{(3 a + 1) (2 a + 1)}{{(2 a)}^{2} - 1}$

Schritt 4.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{7 a (1 + 2 a)}{{(3 a + 1)}^{2}} \cdot \frac{(3 a + 1) (2 a + 1)}{{(2 a)}^{2} - 1^{2}}$

Schritt 4.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2 a$ und $b = 1$ .

$\frac{7 a (1 + 2 a)}{{(3 a + 1)}^{2}} \cdot \frac{(3 a + 1) (2 a + 1)}{(2 a + 1) (2 a - 1)}$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Kombinieren.

$\frac{7 a (1 + 2 a) ((3 a + 1) (2 a + 1))}{{(3 a + 1)}^{2} ((2 a + 1) (2 a - 1))}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3 a + 1$ und ${(3 a + 1)}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $3 a + 1$ aus $7 a (1 + 2 a) ((3 a + 1) (2 a + 1))$ heraus.

$\frac{(3 a + 1) (7 a (1 + 2 a) (2 a + 1))}{{(3 a + 1)}^{2} ((2 a + 1) (2 a - 1))}$

Schritt 5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.1

Faktorisiere $3 a + 1$ aus ${(3 a + 1)}^{2} ((2 a + 1) (2 a - 1))$ heraus.

$\frac{(3 a + 1) (7 a (1 + 2 a) (2 a + 1))}{(3 a + 1) ((3 a + 1) ((2 a + 1) (2 a - 1)))}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(3 a + 1) (7 a (1 + 2 a) (2 a + 1))}{(3 a + 1) ((3 a + 1) ((2 a + 1) (2 a - 1)))}$

Schritt 5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{7 a (1 + 2 a) (2 a + 1)}{(3 a + 1) ((2 a + 1) (2 a - 1))}$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 a + 1$ .

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Schritt 5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 a (1 + 2 a) (2 a + 1)}{(3 a + 1) ((2 a + 1) (2 a - 1))}$

Schritt 5.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{7 a (1 + 2 a)}{(3 a + 1) (2 a - 1)}$