Grundlegende Mathematik Beispiele

$(3 y + 9) (3 y + 8) (3 y) = (3 y) (3 y) (4 y + 3)$

Schritt 1

Vereinfache $(3 y + 9) (3 y + 8) (3 y)$ .

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Schritt 1.1

Forme um.

$0 + 0 + (3 y + 9) (3 y + 8) (3 y) = 3 y (3 y) (4 y + 3)$

Schritt 1.2

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 1.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$0 + (3 y + 9) (3 y + 8) (3 y) = 3 y (3 y) (4 y + 3)$

Schritt 1.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 (3 y + 9) (3 y + 8) y = 3 y (3 y) (4 y + 3)$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(3 (3 y) + 3 \cdot 9) (3 y + 8) y = 3 y (3 y) (4 y + 3)$

Schritt 1.2.4

Multipliziere.

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Schritt 1.2.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$(9 y + 3 \cdot 9) (3 y + 8) y = 3 y (3 y) (4 y + 3)$

Schritt 1.2.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$(9 y + 27) (3 y + 8) y = 3 y (3 y) (4 y + 3)$

Schritt 1.3

Multipliziere $(9 y + 27) (3 y + 8)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(9 y (3 y + 8) + 27 (3 y + 8)) y = 3 y (3 y) (4 y + 3)$

Schritt 1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(9 y (3 y) + 9 y \cdot 8 + 27 (3 y + 8)) y = 3 y (3 y) (4 y + 3)$

Schritt 1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(9 y (3 y) + 9 y \cdot 8 + 27 (3 y) + 27 \cdot 8) y = 3 y (3 y) (4 y + 3)$

Schritt 1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(9 \cdot 3 y \cdot y + 9 y \cdot 8 + 27 (3 y) + 27 \cdot 8) y = 3 y (3 y) (4 y + 3)$

Schritt 1.4.1.2

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.4.1.2.1

Bewege $y$ .

$(9 \cdot 3 (y \cdot y) + 9 y \cdot 8 + 27 (3 y) + 27 \cdot 8) y = 3 y (3 y) (4 y + 3)$

Schritt 1.4.1.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$(9 \cdot 3 y^{2} + 9 y \cdot 8 + 27 (3 y) + 27 \cdot 8) y = 3 y (3 y) (4 y + 3)$

Schritt 1.4.1.3

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$(27 y^{2} + 9 y \cdot 8 + 27 (3 y) + 27 \cdot 8) y = 3 y (3 y) (4 y + 3)$

Schritt 1.4.1.4

Mutltipliziere $8$ mit $9$ .

$(27 y^{2} + 72 y + 27 (3 y) + 27 \cdot 8) y = 3 y (3 y) (4 y + 3)$

Schritt 1.4.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $27$ .

$(27 y^{2} + 72 y + 81 y + 27 \cdot 8) y = 3 y (3 y) (4 y + 3)$

Schritt 1.4.1.6

Mutltipliziere $27$ mit $8$ .

$(27 y^{2} + 72 y + 81 y + 216) y = 3 y (3 y) (4 y + 3)$

Schritt 1.4.2

Addiere $72 y$ und $81 y$ .

$(27 y^{2} + 153 y + 216) y = 3 y (3 y) (4 y + 3)$

Schritt 1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$27 y^{2} y + 153 y \cdot y + 216 y = 3 y (3 y) (4 y + 3)$

Schritt 1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.6.1

Multipliziere $y^{2}$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.6.1.1

Bewege $y$ .

$27 (y \cdot y^{2}) + 153 y \cdot y + 216 y = 3 y (3 y) (4 y + 3)$

Schritt 1.6.1.2

Mutltipliziere $y$ mit $y^{2}$ .

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Schritt 1.6.1.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$27 (y^{1} y^{2}) + 153 y \cdot y + 216 y = 3 y (3 y) (4 y + 3)$

Schritt 1.6.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$27 y^{1 + 2} + 153 y \cdot y + 216 y = 3 y (3 y) (4 y + 3)$

Schritt 1.6.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$27 y^{3} + 153 y \cdot y + 216 y = 3 y (3 y) (4 y + 3)$

Schritt 1.6.2

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.6.2.1

Bewege $y$ .

$27 y^{3} + 153 (y \cdot y) + 216 y = 3 y (3 y) (4 y + 3)$

Schritt 1.6.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$27 y^{3} + 153 y^{2} + 216 y = 3 y (3 y) (4 y + 3)$

Schritt 2

Vereinfache $3 y (3 y) (4 y + 3)$ .

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Schritt 2.1

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.1

Bewege $y$ .

$27 y^{3} + 153 y^{2} + 216 y = 3 (y \cdot y) \cdot 3 (4 y + 3)$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$27 y^{3} + 153 y^{2} + 216 y = 3 y^{2} \cdot 3 (4 y + 3)$

Schritt 2.2

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 2.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$27 y^{3} + 153 y^{2} + 216 y = 9 y^{2} (4 y + 3)$

Schritt 2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$27 y^{3} + 153 y^{2} + 216 y = 9 y^{2} (4 y) + 9 y^{2} \cdot 3$

Schritt 2.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$27 y^{3} + 153 y^{2} + 216 y = 9 \cdot 4 y^{2} y + 9 y^{2} \cdot 3$

Schritt 2.2.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$27 y^{3} + 153 y^{2} + 216 y = 9 \cdot 4 y^{2} y + 27 y^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere $y^{2}$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.1.1

Bewege $y$ .

$27 y^{3} + 153 y^{2} + 216 y = 9 \cdot 4 (y \cdot y^{2}) + 27 y^{2}$

Schritt 2.3.1.2

Mutltipliziere $y$ mit $y^{2}$ .

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Schritt 2.3.1.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$27 y^{3} + 153 y^{2} + 216 y = 9 \cdot 4 (y^{1} y^{2}) + 27 y^{2}$

Schritt 2.3.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$27 y^{3} + 153 y^{2} + 216 y = 9 \cdot 4 y^{1 + 2} + 27 y^{2}$

Schritt 2.3.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$27 y^{3} + 153 y^{2} + 216 y = 9 \cdot 4 y^{3} + 27 y^{2}$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $9$ mit $4$ .

$27 y^{3} + 153 y^{2} + 216 y = 36 y^{3} + 27 y^{2}$

Schritt 3

Bringe alle Terme, die $y$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $36 y^{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$27 y^{3} + 153 y^{2} + 216 y - 36 y^{3} = 27 y^{2}$

Schritt 3.2

Subtrahiere $27 y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$27 y^{3} + 153 y^{2} + 216 y - 36 y^{3} - 27 y^{2} = 0$

Schritt 3.3

Subtrahiere $36 y^{3}$ von $27 y^{3}$ .

$- 9 y^{3} + 153 y^{2} + 216 y - 27 y^{2} = 0$

Schritt 3.4

Subtrahiere $27 y^{2}$ von $153 y^{2}$ .

$- 9 y^{3} + 126 y^{2} + 216 y = 0$

Schritt 4

Faktorisiere $- 9 y$ aus $- 9 y^{3} + 126 y^{2} + 216 y$ heraus.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $- 9 y$ aus $- 9 y^{3}$ heraus.

$- 9 y \cdot y^{2} + 126 y^{2} + 216 y = 0$

Schritt 4.2

Faktorisiere $- 9 y$ aus $126 y^{2}$ heraus.

$- 9 y \cdot y^{2} - 9 y (- 14 y) + 216 y = 0$

Schritt 4.3

Faktorisiere $- 9 y$ aus $216 y$ heraus.

$- 9 y \cdot y^{2} - 9 y (- 14 y) - 9 y \cdot - 24 = 0$

Schritt 4.4

Faktorisiere $- 9 y$ aus $- 9 y (y^{2}) - 9 y (- 14 y)$ heraus.

$- 9 y (y^{2} - 14 y) - 9 y \cdot - 24 = 0$

Schritt 4.5

Faktorisiere $- 9 y$ aus $- 9 y (y^{2} - 14 y) - 9 y (- 24)$ heraus.

$- 9 y (y^{2} - 14 y - 24) = 0$

Schritt 5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$y = 0$

$y^{2} - 14 y - 24 = 0$

Schritt 6

Setze $y$ gleich $0$ .

$y = 0$

Schritt 7

Setze $y^{2} - 14 y - 24$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $y^{2} - 14 y - 24$ gleich $0$ .

$y^{2} - 14 y - 24 = 0$

Schritt 7.2

Löse $y^{2} - 14 y - 24 = 0$ nach $y$ auf.

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Schritt 7.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 7.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 14$ und $c = - 24$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 24)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache.

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Schritt 7.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.3.1.1

Potenziere $- 14$ mit $2$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot 1 \cdot - 24}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 24$ .

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Schritt 7.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot - 24}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 24$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 96}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.3.1.3

Addiere $196$ und $96$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{292}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.3.1.4

Schreibe $292$ als $2^{2} \cdot 73$ um.

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Schritt 7.2.3.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $292$ heraus.

$y = \frac{14 \pm \sqrt{4 (73)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.3.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{14 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 73}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{14 \pm 2 \sqrt{73}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{14 \pm 2 \sqrt{73}}{2}$

Schritt 7.2.3.3

Vereinfache $\frac{14 \pm 2 \sqrt{73}}{2}$ .

$y = 7 \pm \sqrt{73}$

Schritt 7.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = 7 + \sqrt{73}, 7 - \sqrt{73}$

Schritt 8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- 9 y (y^{2} - 14 y - 24) = 0$ wahr machen.

$y = 0, 7 + \sqrt{73}, 7 - \sqrt{73}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$y = 0, 7 + \sqrt{73}, 7 - \sqrt{73}$

Dezimalform:

$y = 0, 15.54400374 \dots, - 1.54400374 \dots$