Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{5}{10} = \frac{10 (1 - e^{- 0.2 t})}{10}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\frac{10 (1 - e^{- 0.2 t})}{10} = \frac{5}{10}$ um.

$\frac{10 (1 - e^{- 0.2 t})}{10} = \frac{5}{10}$

Schritt 2

Da der Ausdruck auf jeder Seite der Gleichung den gleichen Nenner hat, müssen die Zähler gleich sein.

$10 (1 - e^{- 0.2 t}) = 5$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $10 (1 - e^{- 0.2 t}) = 5$ durch $10$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $10 (1 - e^{- 0.2 t}) = 5$ durch $10$ .

$\frac{10 (1 - e^{- 0.2 t})}{10} = \frac{5}{10}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10 (1 - e^{- 0.2 t})}{10} = \frac{5}{10}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $1 - e^{- 0.2 t}$ durch $1$ .

$1 - e^{- 0.2 t} = \frac{5}{10}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $5$ und $10$ .

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Schritt 3.3.1.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$1 - e^{- 0.2 t} = \frac{5 (1)}{10}$

Schritt 3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.1.2.1

Faktorisiere $5$ aus $10$ heraus.

$1 - e^{- 0.2 t} = \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 2}$

Schritt 3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 - e^{- 0.2 t} = \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 2}$

Schritt 3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$1 - e^{- 0.2 t} = \frac{1}{2}$

Schritt 4

Bringe alle Terme, die nicht $t$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- e^{- 0.2 t} = \frac{1}{2} - 1$

Schritt 4.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- e^{- 0.2 t} = \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 4.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$- e^{- 0.2 t} = \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Schritt 4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- e^{- 0.2 t} = \frac{1 - 1 \cdot 2}{2}$

Schritt 4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- e^{- 0.2 t} = \frac{1 - 2}{2}$

Schritt 4.5.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$- e^{- 0.2 t} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 4.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- e^{- 0.2 t} = - \frac{1}{2}$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $- e^{- 0.2 t} = - \frac{1}{2}$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $- e^{- 0.2 t} = - \frac{1}{2}$ durch $- 1$ .

$\frac{- e^{- 0.2 t}}{- 1} = \frac{- \frac{1}{2}}{- 1}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{e^{- 0.2 t}}{1} = \frac{- \frac{1}{2}}{- 1}$

Schritt 5.2.2

Dividiere $e^{- 0.2 t}$ durch $1$ .

$e^{- 0.2 t} = \frac{- \frac{1}{2}}{- 1}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$e^{- 0.2 t} = \frac{\frac{1}{2}}{1}$

Schritt 5.3.2

Dividiere $\frac{1}{2}$ durch $1$ .

$e^{- 0.2 t} = \frac{1}{2}$

Schritt 6

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{- 0.2 t}) = \ln (\frac{1}{2})$

Schritt 7

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 7.1

Zerlege $\ln (e^{- 0.2 t})$ durch Herausziehen von $- 0.2 t$ aus dem Logarithmus.

$- 0.2 t \ln (e) = \ln (\frac{1}{2})$

Schritt 7.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$- 0.2 t \cdot 1 = \ln (\frac{1}{2})$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $- 0.2$ mit $1$ .

$- 0.2 t = \ln (\frac{1}{2})$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $- 0.2 t = \ln (\frac{1}{2})$ durch $- 0.2$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $- 0.2 t = \ln (\frac{1}{2})$ durch $- 0.2$ .

$\frac{- 0.2 t}{- 0.2} = \frac{\ln (\frac{1}{2})}{- 0.2}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 0.2$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 0.2 t}{- 0.2} = \frac{\ln (\frac{1}{2})}{- 0.2}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $t$ durch $1$ .

$t = \frac{\ln (\frac{1}{2})}{- 0.2}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$t = - \frac{\ln (\frac{1}{2})}{0.2}$

Schritt 8.3.2

Ersetze $e$ durch eine Näherung.

$t = - \frac{\log_{2.71828182} (\frac{1}{2})}{0.2}$

Schritt 8.3.3

Dividiere $1$ durch $2$ .

$t = - \frac{\log_{2.71828182} (0.5)}{0.2}$

Schritt 8.3.4

Die logarithmische Basis $2.71828182$ von $0.5$ ist ungefähr $- 0.69314718$ .

$t = - \frac{- 0.69314718}{0.2}$

Schritt 8.3.5

Dividiere $- 0.69314718$ durch $0.2$ .

$t = - - 3.4657359$

Schritt 8.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3.4657359$ .

$t = 3.4657359$