Grundlegende Mathematik Beispiele

$y^{2} - \sqrt{y^{2}} - | y - 2 | - 11 = 0$

Schritt 1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$y^{2} - y - | y - 2 | - 11 = 0$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die nicht $| y - 2 |$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y - | y - 2 | - 11 = - y^{2}$

Schritt 2.2

Addiere $y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- | y - 2 | - 11 = - y^{2} + y$

Schritt 2.3

Addiere $11$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- | y - 2 | = - y^{2} + y + 11$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $- | y - 2 | = - y^{2} + y + 11$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $- | y - 2 | = - y^{2} + y + 11$ durch $- 1$ .

$\frac{- | y - 2 |}{- 1} = \frac{- y^{2}}{- 1} + \frac{y}{- 1} + \frac{11}{- 1}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{| y - 2 |}{1} = \frac{- y^{2}}{- 1} + \frac{y}{- 1} + \frac{11}{- 1}$

Schritt 3.2.2

Dividiere $| y - 2 |$ durch $1$ .

$| y - 2 | = \frac{- y^{2}}{- 1} + \frac{y}{- 1} + \frac{11}{- 1}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$| y - 2 | = \frac{y^{2}}{1} + \frac{y}{- 1} + \frac{11}{- 1}$

Schritt 3.3.1.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$| y - 2 | = y^{2} + \frac{y}{- 1} + \frac{11}{- 1}$

Schritt 3.3.1.3

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{y}{- 1}$ .

$| y - 2 | = y^{2} - 1 \cdot y + \frac{11}{- 1}$

Schritt 3.3.1.4

Schreibe $- 1 \cdot y$ als $- y$ um.

$| y - 2 | = y^{2} - y + \frac{11}{- 1}$

Schritt 3.3.1.5

Dividiere $11$ durch $- 1$ .

$| y - 2 | = y^{2} - y - 11$

Schritt 4

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y - 2 = \pm (y^{2} - y - 11)$

Schritt 5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y - 2 = y^{2} - y - 11$

Schritt 5.2

Da $y$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$y^{2} - y - 11 = y - 2$

Schritt 5.3

Bringe alle Terme, die $y$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} - y - 11 - y = - 2$

Schritt 5.3.2

Subtrahiere $y$ von $- y$ .

$y^{2} - 2 y - 11 = - 2$

Schritt 5.4

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} - 2 y - 11 + 2 = 0$

Schritt 5.4.2

Addiere $- 11$ und $2$ .

$y^{2} - 2 y - 9 = 0$

Schritt 5.5

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5.6

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 2$ und $c = - 9$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 9)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.7

Vereinfache.

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Schritt 5.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.7.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 9}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 9$ .

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Schritt 5.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 9}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.7.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 9$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 36}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.7.1.3

Addiere $4$ und $36$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{40}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.7.1.4

Schreibe $40$ als $2^{2} \cdot 10$ um.

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Schritt 5.7.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $40$ heraus.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (10)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.7.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{10}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{10}}{2}$

Schritt 5.7.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{10}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{10}$

Schritt 5.8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = 1 + \sqrt{10}, 1 - \sqrt{10}$

Schritt 5.9

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y - 2 = - (y^{2} - y - 11)$

Schritt 5.10

Da $y$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$- (y^{2} - y - 11) = y - 2$

Schritt 5.11

Vereinfache $- (y^{2} - y - 11)$ .

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Schritt 5.11.1

Forme um.

$0 + 0 - (y^{2} - y - 11) = y - 2$

Schritt 5.11.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$- (y^{2} - y - 11) = y - 2$

Schritt 5.11.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- y^{2} - - y - - 11 = y - 2$

Schritt 5.11.4

Vereinfache.

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Schritt 5.11.4.1

Multipliziere $- - y$ .

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Schritt 5.11.4.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- y^{2} + 1 y - - 11 = y - 2$

Schritt 5.11.4.1.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$- y^{2} + y - - 11 = y - 2$

Schritt 5.11.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 11$ .

$- y^{2} + y + 11 = y - 2$

Schritt 5.12

Bringe alle Terme, die $y$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.12.1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y^{2} + y + 11 - y = - 2$

Schritt 5.12.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- y^{2} + y + 11 - y$ .

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Schritt 5.12.2.1

Subtrahiere $y$ von $y$ .

$- y^{2} + 0 + 11 = - 2$

Schritt 5.12.2.2

Addiere $- y^{2}$ und $0$ .

$- y^{2} + 11 = - 2$

Schritt 5.13

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.13.1

Subtrahiere $11$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y^{2} = - 2 - 11$

Schritt 5.13.2

Subtrahiere $11$ von $- 2$ .

$- y^{2} = - 13$

Schritt 5.14

Teile jeden Ausdruck in $- y^{2} = - 13$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.14.1

Teile jeden Ausdruck in $- y^{2} = - 13$ durch $- 1$ .

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{- 13}{- 1}$

Schritt 5.14.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.14.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{- 13}{- 1}$

Schritt 5.14.2.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = \frac{- 13}{- 1}$

Schritt 5.14.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.14.3.1

Dividiere $- 13$ durch $- 1$ .

$y^{2} = 13$

Schritt 5.15

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{13}$

Schritt 5.16

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.16.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \sqrt{13}$

Schritt 5.16.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \sqrt{13}$

Schritt 5.16.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt{13}, - \sqrt{13}$

Schritt 5.17

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = 1 + \sqrt{10}, 1 - \sqrt{10}, \sqrt{13}, - \sqrt{13}$

Schritt 6

Schließe die Lösungen aus, die $y^{2} - \sqrt{y^{2}} - | y - 2 | - 11 = 0$ nicht erfüllen.

$y = 1 + \sqrt{10}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$y = 1 + \sqrt{10}$

Dezimalform:

$y = 4.16227766 \dots$