Grundlegende Mathematik Beispiele

$2 y^{3} + 5 y^{2} = 8 y + 20$

Schritt 1

Subtrahiere $8 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y^{3} + 5 y^{2} - 8 y = 20$

Schritt 2

Subtrahiere $20$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y^{3} + 5 y^{2} - 8 y - 20 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(2 y^{3} + 5 y^{2}) - 8 y - 20 = 0$

Schritt 3.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$y^{2} (2 y + 5) - 4 (2 y + 5) = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 y + 5$ .

$(2 y + 5) (y^{2} - 4) = 0$

Schritt 3.3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$(2 y + 5) (y^{2} - 2^{2}) = 0$

Schritt 3.4

Faktorisiere.

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Schritt 3.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = y$ und $b = 2$ .

$(2 y + 5) ((y + 2) (y - 2)) = 0$

Schritt 3.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$(2 y + 5) (y + 2) (y - 2) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 y + 5 = 0$

$y + 2 = 0$

$y - 2 = 0$

Schritt 5

Setze $2 y + 5$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $2 y + 5$ gleich $0$ .

$2 y + 5 = 0$

Schritt 5.2

Löse $2 y + 5 = 0$ nach $y$ auf.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y = - 5$

Schritt 5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 y = - 5$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y = - 5$ durch $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{- 5}{2}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{2} = \frac{- 5}{2}$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 5}{2}$

Schritt 5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{5}{2}$

Schritt 6

Setze $y + 2$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $y + 2$ gleich $0$ .

$y + 2 = 0$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 2$

Schritt 7

Setze $y - 2$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $y - 2$ gleich $0$ .

$y - 2 = 0$

Schritt 7.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 2$

Schritt 8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 y + 5) (y + 2) (y - 2) = 0$ wahr machen.

$y = - \frac{5}{2}, - 2, 2$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$y = - \frac{5}{2}, - 2, 2$

Dezimalform:

$y = - 2.5, - 2, 2$

Darstellung als gemischte Zahl:

$y = - 2 \frac{1}{2}, - 2, 2$