Grundlegende Mathematik Beispiele

$\sqrt{16 y + 1} = 2 \sqrt{7 y} - 1$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{16 y + 1}}^{2} = {(2 \sqrt{7 y} - 1)}^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{16 y + 1}$ als ${(16 y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(16 y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 \sqrt{7 y} - 1)}^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${({(16 y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(16 y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(16 y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 \sqrt{7 y} - 1)}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(16 y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 \sqrt{7 y} - 1)}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(16 y + 1)}^{1} = {(2 \sqrt{7 y} - 1)}^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

$16 y + 1 = {(2 \sqrt{7 y} - 1)}^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache ${(2 \sqrt{7 y} - 1)}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Schreibe ${(2 \sqrt{7 y} - 1)}^{2}$ als $(2 \sqrt{7 y} - 1) (2 \sqrt{7 y} - 1)$ um.

$16 y + 1 = (2 \sqrt{7 y} - 1) (2 \sqrt{7 y} - 1)$

Schritt 2.3.1.2

Multipliziere $(2 \sqrt{7 y} - 1) (2 \sqrt{7 y} - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$16 y + 1 = 2 \sqrt{7 y} (2 \sqrt{7 y} - 1) - 1 (2 \sqrt{7 y} - 1)$

Schritt 2.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$16 y + 1 = 2 \sqrt{7 y} (2 \sqrt{7 y}) + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y} - 1)$

Schritt 2.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$16 y + 1 = 2 \sqrt{7 y} (2 \sqrt{7 y}) + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.3.1.1

Multipliziere $2 \sqrt{7 y} (2 \sqrt{7 y})$ .

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Schritt 2.3.1.3.1.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$16 y + 1 = 4 \sqrt{7 y} \sqrt{7 y} + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.3.1.1.2

Potenziere $\sqrt{7 y}$ mit $1$ .

$16 y + 1 = 4 ({\sqrt{7 y}}^{1} \sqrt{7 y}) + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.3.1.1.3

Potenziere $\sqrt{7 y}$ mit $1$ .

$16 y + 1 = 4 ({\sqrt{7 y}}^{1} {\sqrt{7 y}}^{1}) + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.3.1.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$16 y + 1 = 4 {\sqrt{7 y}}^{1 + 1} + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.3.1.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$16 y + 1 = 4 {\sqrt{7 y}}^{2} + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.3.1.2

Schreibe ${\sqrt{7 y}}^{2}$ als $7 y$ um.

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Schritt 2.3.1.3.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7 y}$ als ${(7 y)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$16 y + 1 = 4 {({(7 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.3.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 y + 1 = 4 {(7 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.3.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$16 y + 1 = 4 {(7 y)}^{\frac{2}{2}} + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.3.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.1.3.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$16 y + 1 = 4 {(7 y)}^{\frac{2}{2}} + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.3.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$16 y + 1 = 4 {(7 y)}^{1} + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.3.1.2.5

Vereinfache.

$16 y + 1 = 4 (7 y) + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $7$ mit $4$ .

$16 y + 1 = 28 y + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$16 y + 1 = 28 y - 2 \sqrt{7 y} - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.3.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$16 y + 1 = 28 y - 2 \sqrt{7 y} - 2 \sqrt{7 y} - 1 \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$16 y + 1 = 28 y - 2 \sqrt{7 y} - 2 \sqrt{7 y} + 1$

Schritt 2.3.1.3.2

Subtrahiere $2 \sqrt{7 y}$ von $- 2 \sqrt{7 y}$ .

$16 y + 1 = 28 y - 4 \sqrt{7 y} + 1$

Schritt 3

Löse nach $- 4 \sqrt{7 y}$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $28 y - 4 \sqrt{7 y} + 1 = 16 y + 1$ um.

$28 y - 4 \sqrt{7 y} + 1 = 16 y + 1$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme, die nicht $- 4 \sqrt{7 y}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $28 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 \sqrt{7 y} + 1 = 16 y + 1 - 28 y$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 \sqrt{7 y} = 16 y + 1 - 28 y - 1$

Schritt 3.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $16 y + 1 - 28 y - 1$ .

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Schritt 3.2.3.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$- 4 \sqrt{7 y} = 16 y - 28 y + 0$

Schritt 3.2.3.2

Addiere $16 y - 28 y$ und $0$ .

$- 4 \sqrt{7 y} = 16 y - 28 y$

Schritt 3.2.4

Subtrahiere $28 y$ von $16 y$ .

$- 4 \sqrt{7 y} = - 12 y$

Schritt 4

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(- 4 \sqrt{7 y})}^{2} = {(- 12 y)}^{2}$

Schritt 5

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7 y}$ als ${(7 y)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(- 4 {(7 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 12 y)}^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache ${(- 4 {(7 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Wende die Produktregel auf $7 y$ an.

${(- 4 (7^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}))}^{2} = {(- 12 y)}^{2}$

Schritt 5.2.1.2

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 5.2.1.2.1

Wende die Produktregel auf $- 4 \cdot 7^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}$ an.

${(- 4 \cdot 7^{\frac{1}{2}})}^{2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 12 y)}^{2}$

Schritt 5.2.1.2.2

Wende die Produktregel auf $- 4 \cdot 7^{\frac{1}{2}}$ an.

${(- 4)}^{2} \cdot {(7^{\frac{1}{2}})}^{2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 12 y)}^{2}$

Schritt 5.2.1.3

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$16 \cdot {(7^{\frac{1}{2}})}^{2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 12 y)}^{2}$

Schritt 5.2.1.4

Multipliziere die Exponenten in ${(7^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 12 y)}^{2}$

Schritt 5.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$16 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 12 y)}^{2}$

Schritt 5.2.1.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$16 \cdot 7^{1} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 12 y)}^{2}$

Schritt 5.2.1.5

Berechne den Exponenten.

$16 \cdot 7 {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 12 y)}^{2}$

Schritt 5.2.1.6

Mutltipliziere $16$ mit $7$ .

$112 {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 12 y)}^{2}$

Schritt 5.2.1.7

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.7.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$112 y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 12 y)}^{2}$

Schritt 5.2.1.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$112 y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 12 y)}^{2}$

Schritt 5.2.1.7.2.2

Forme den Ausdruck um.

$112 y^{1} = {(- 12 y)}^{2}$

Schritt 5.2.1.8

Vereinfache.

$112 y = {(- 12 y)}^{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache ${(- 12 y)}^{2}$ .

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Schritt 5.3.1.1

Wende die Produktregel auf $- 12 y$ an.

$112 y = {(- 12)}^{2} y^{2}$

Schritt 5.3.1.2

Potenziere $- 12$ mit $2$ .

$112 y = 144 y^{2}$

Schritt 6

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 6.1

Subtrahiere $144 y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$112 y - 144 y^{2} = 0$

Schritt 6.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.2.1

Es sei $u = y$ . Ersetze $u$ für alle $y$ .

$112 u - 144 u^{2} = 0$

Schritt 6.2.2

Faktorisiere $16 u$ aus $112 u - 144 u^{2}$ heraus.

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Schritt 6.2.2.1

Faktorisiere $16 u$ aus $112 u$ heraus.

$16 u (7) - 144 u^{2} = 0$

Schritt 6.2.2.2

Faktorisiere $16 u$ aus $- 144 u^{2}$ heraus.

$16 u (7) + 16 u (- 9 u) = 0$

Schritt 6.2.2.3

Faktorisiere $16 u$ aus $16 u (7) + 16 u (- 9 u)$ heraus.

$16 u (7 - 9 u) = 0$

Schritt 6.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$16 y (7 - 9 y) = 0$

Schritt 6.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$y = 0$

$7 - 9 y = 0$

Schritt 6.4

Setze $y$ gleich $0$ .

$y = 0$

Schritt 6.5

Setze $7 - 9 y$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 6.5.1

Setze $7 - 9 y$ gleich $0$ .

$7 - 9 y = 0$

Schritt 6.5.2

Löse $7 - 9 y = 0$ nach $y$ auf.

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Schritt 6.5.2.1

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 9 y = - 7$

Schritt 6.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 9 y = - 7$ durch $- 9$ und vereinfache.

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Schritt 6.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 9 y = - 7$ durch $- 9$ .

$\frac{- 9 y}{- 9} = \frac{- 7}{- 9}$

Schritt 6.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 9$ .

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Schritt 6.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 9 y}{- 9} = \frac{- 7}{- 9}$

Schritt 6.5.2.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 7}{- 9}$

Schritt 6.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.5.2.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y = \frac{7}{9}$

Schritt 6.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $16 y (7 - 9 y) = 0$ wahr machen.

$y = 0, \frac{7}{9}$

Schritt 7

Schließe die Lösungen aus, die $\sqrt{16 y + 1} = 2 \sqrt{7 y} - 1$ nicht erfüllen.

$y = \frac{7}{9}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$y = \frac{7}{9}$

Dezimalform:

$y = 0.\overline{7}$