Grundlegende Mathematik Beispiele

$\sqrt{y^{2} - 1} = 1 + y$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{y^{2} - 1}}^{2} = {(1 + y)}^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y^{2} - 1}$ als ${(y^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(y^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 + y)}^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${({(y^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(y^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + y)}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(y^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + y)}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(y^{2} - 1)}^{1} = {(1 + y)}^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

$y^{2} - 1 = {(1 + y)}^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache ${(1 + y)}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Schreibe ${(1 + y)}^{2}$ als $(1 + y) (1 + y)$ um.

$y^{2} - 1 = (1 + y) (1 + y)$

Schritt 2.3.1.2

Multipliziere $(1 + y) (1 + y)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} - 1 = 1 (1 + y) + y (1 + y)$

Schritt 2.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} - 1 = 1 \cdot 1 + 1 y + y (1 + y)$

Schritt 2.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} - 1 = 1 \cdot 1 + 1 y + y \cdot 1 + y \cdot y$

Schritt 2.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$y^{2} - 1 = 1 + 1 y + y \cdot 1 + y \cdot y$

Schritt 2.3.1.3.1.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y^{2} - 1 = 1 + y + y \cdot 1 + y \cdot y$

Schritt 2.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y^{2} - 1 = 1 + y + y + y \cdot y$

Schritt 2.3.1.3.1.4

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$y^{2} - 1 = 1 + y + y + y^{2}$

Schritt 2.3.1.3.2

Addiere $y$ und $y$ .

$y^{2} - 1 = 1 + 2 y + y^{2}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Da $y$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$1 + 2 y + y^{2} = y^{2} - 1$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme, die $y$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$1 + 2 y + y^{2} - y^{2} = - 1$

Schritt 3.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $1 + 2 y + y^{2} - y^{2}$ .

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Schritt 3.2.2.1

Subtrahiere $y^{2}$ von $y^{2}$ .

$1 + 2 y + 0 = - 1$

Schritt 3.2.2.2

Addiere $1 + 2 y$ und $0$ .

$1 + 2 y = - 1$

Schritt 3.3

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y = - 1 - 1$

Schritt 3.3.2

Subtrahiere $1$ von $- 1$ .

$2 y = - 2$

Schritt 3.4

Teile jeden Ausdruck in $2 y = - 2$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y = - 2$ durch $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{- 2}{2}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{2} = \frac{- 2}{2}$

Schritt 3.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 2}{2}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.1

Dividiere $- 2$ durch $2$ .

$y = - 1$