Grundlegende Mathematik Beispiele

$r^{2} + \frac{1}{2} r + \frac{1}{16} = \frac{10}{16}$

Schritt 1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $r$ .

$r^{2} + \frac{r}{2} + \frac{1}{16} = \frac{10}{16}$

Schritt 2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $16$ .

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Schritt 2.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$r^{2} + \frac{r}{2} + \frac{1}{16} = \frac{2 (5)}{16}$

Schritt 2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$r^{2} + \frac{r}{2} + \frac{1}{16} = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 8}$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r^{2} + \frac{r}{2} + \frac{1}{16} = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 8}$

Schritt 2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$r^{2} + \frac{r}{2} + \frac{1}{16} = \frac{5}{8}$

Schritt 3

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $\frac{5}{8}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$r^{2} + \frac{r}{2} + \frac{1}{16} - \frac{5}{8} = 0$

Schritt 3.2

Vereinfache $r^{2} + \frac{r}{2} + \frac{1}{16} - \frac{5}{8}$ .

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Schritt 3.2.1

Um $- \frac{5}{8}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$r^{2} + \frac{r}{2} + \frac{1}{16} - \frac{5}{8} \cdot \frac{2}{2} = 0$

Schritt 3.2.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $16$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{5}{8}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$r^{2} + \frac{r}{2} + \frac{1}{16} - \frac{5 \cdot 2}{8 \cdot 2} = 0$

Schritt 3.2.2.2

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$r^{2} + \frac{r}{2} + \frac{1}{16} - \frac{5 \cdot 2}{16} = 0$

Schritt 3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$r^{2} + \frac{r}{2} + \frac{1 - 5 \cdot 2}{16} = 0$

Schritt 3.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.4.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $2$ .

$r^{2} + \frac{r}{2} + \frac{1 - 10}{16} = 0$

Schritt 3.2.4.2

Subtrahiere $10$ von $1$ .

$r^{2} + \frac{r}{2} + \frac{- 9}{16} = 0$

Schritt 3.2.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$r^{2} + \frac{r}{2} - \frac{9}{16} = 0$

Schritt 4

Multipliziere mit dem Hauptnenner $16$ aus und vereinfache dann.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$16 r^{2} + 16 (\frac{r}{2}) + 16 (- \frac{9}{16}) = 0$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$16 r^{2} + 2 (8) (\frac{r}{2}) + 16 (- \frac{9}{16}) = 0$

Schritt 4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$16 r^{2} + 2 \cdot (8 (\frac{r}{2})) + 16 (- \frac{9}{16}) = 0$

Schritt 4.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$16 r^{2} + 8 r + 16 (- \frac{9}{16}) = 0$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $16$ .

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Schritt 4.2.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{9}{16}$ in den Zähler.

$16 r^{2} + 8 r + 16 (\frac{- 9}{16}) = 0$

Schritt 4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$16 r^{2} + 8 r + 16 (\frac{- 9}{16}) = 0$

Schritt 4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$16 r^{2} + 8 r - 9 = 0$

Schritt 5

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6

Setze die Werte $a = 16$ , $b = 8$ und $c = - 9$ in die Quadratformel ein und löse nach $r$ auf.

$\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (16 \cdot - 9)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$r = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 16 \cdot - 9}}{2 \cdot 16}$

Schritt 7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 16 \cdot - 9$ .

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Schritt 7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $16$ .

$r = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 64 \cdot - 9}}{2 \cdot 16}$

Schritt 7.1.2.2

Mutltipliziere $- 64$ mit $- 9$ .

$r = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 576}}{2 \cdot 16}$

Schritt 7.1.3

Addiere $64$ und $576$ .

$r = \frac{- 8 \pm \sqrt{640}}{2 \cdot 16}$

Schritt 7.1.4

Schreibe $640$ als $8^{2} \cdot 10$ um.

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Schritt 7.1.4.1

Faktorisiere $64$ aus $640$ heraus.

$r = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 (10)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 7.1.4.2

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$r = \frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 10}}{2 \cdot 16}$

Schritt 7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$r = \frac{- 8 \pm 8 \sqrt{10}}{2 \cdot 16}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$r = \frac{- 8 \pm 8 \sqrt{10}}{32}$

Schritt 7.3

Vereinfache $\frac{- 8 \pm 8 \sqrt{10}}{32}$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{10}}{4}$

Schritt 8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$r = - \frac{1 - \sqrt{10}}{4}, - \frac{1 + \sqrt{10}}{4}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$r = - \frac{1 - \sqrt{10}}{4}, - \frac{1 + \sqrt{10}}{4}$

Dezimalform:

$r = 0.54056941 \dots, - 1.04056941 \dots$