Grundlegende Mathematik Beispiele

$p - 4^{4} \sqrt{p} - 5 = 0$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $- 4^{4} \sqrt{p}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $p$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4^{4} \sqrt{p} - 5 = - p$

Schritt 1.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 4^{4} \sqrt{p} = - p + 5$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(- 4^{4} \sqrt{p})}^{2} = {(- p + 5)}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{p}$ als $p^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(- 4^{4} p^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- p + 5)}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${(- 4^{4} p^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Potenziere $4$ mit $4$ .

${(- 1 \cdot 256 p^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- p + 5)}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $256$ .

${(- 256 p^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- p + 5)}^{2}$

Schritt 3.2.1.3

Wende die Produktregel auf $- 256 p^{\frac{1}{2}}$ an.

${(- 256)}^{2} {(p^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- p + 5)}^{2}$

Schritt 3.2.1.4

Potenziere $- 256$ mit $2$ .

$65536 {(p^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- p + 5)}^{2}$

Schritt 3.2.1.5

Multipliziere die Exponenten in ${(p^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$65536 p^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- p + 5)}^{2}$

Schritt 3.2.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$65536 p^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- p + 5)}^{2}$

Schritt 3.2.1.5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$65536 p^{1} = {(- p + 5)}^{2}$

Schritt 3.2.1.6

Vereinfache.

$65536 p = {(- p + 5)}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${(- p + 5)}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Schreibe ${(- p + 5)}^{2}$ als $(- p + 5) (- p + 5)$ um.

$65536 p = (- p + 5) (- p + 5)$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $(- p + 5) (- p + 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$65536 p = - p (- p + 5) + 5 (- p + 5)$

Schritt 3.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$65536 p = - p (- p) - p \cdot 5 + 5 (- p + 5)$

Schritt 3.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$65536 p = - p (- p) - p \cdot 5 + 5 (- p) + 5 \cdot 5$

Schritt 3.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$65536 p = - 1 \cdot - 1 p \cdot p - p \cdot 5 + 5 (- p) + 5 \cdot 5$

Schritt 3.3.1.3.1.2

Multipliziere $p$ mit $p$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.3.1.2.1

Bewege $p$ .

$65536 p = - 1 \cdot - 1 (p \cdot p) - p \cdot 5 + 5 (- p) + 5 \cdot 5$

Schritt 3.3.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $p$ mit $p$ .

$65536 p = - 1 \cdot - 1 p^{2} - p \cdot 5 + 5 (- p) + 5 \cdot 5$

Schritt 3.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$65536 p = 1 p^{2} - p \cdot 5 + 5 (- p) + 5 \cdot 5$

Schritt 3.3.1.3.1.4

Mutltipliziere $p^{2}$ mit $1$ .

$65536 p = p^{2} - p \cdot 5 + 5 (- p) + 5 \cdot 5$

Schritt 3.3.1.3.1.5

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$65536 p = p^{2} - 5 p + 5 (- p) + 5 \cdot 5$

Schritt 3.3.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$65536 p = p^{2} - 5 p - 5 p + 5 \cdot 5$

Schritt 3.3.1.3.1.7

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$65536 p = p^{2} - 5 p - 5 p + 25$

Schritt 3.3.1.3.2

Subtrahiere $5 p$ von $- 5 p$ .

$65536 p = p^{2} - 10 p + 25$

Schritt 4

Löse nach $p$ auf.

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Schritt 4.1

Da $p$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$p^{2} - 10 p + 25 = 65536 p$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die $p$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $65536 p$ von beiden Seiten der Gleichung.

$p^{2} - 10 p + 25 - 65536 p = 0$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $65536 p$ von $- 10 p$ .

$p^{2} - 65546 p + 25 = 0$

Schritt 4.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.4

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 65546$ und $c = 25$ in die Quadratformel ein und löse nach $p$ auf.

$\frac{65546 \pm \sqrt{{(- 65546)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 25)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5

Vereinfache.

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Schritt 4.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.1.1

Potenziere $- 65546$ mit $2$ .

$p = \frac{65546 \pm \sqrt{4296278116 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

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Schritt 4.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$p = \frac{65546 \pm \sqrt{4296278116 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $25$ .

$p = \frac{65546 \pm \sqrt{4296278116 - 100}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.3

Subtrahiere $100$ von $4296278116$ .

$p = \frac{65546 \pm \sqrt{4296278016}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.4

Schreibe $4296278016$ als $1536^{2} \cdot 1821$ um.

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Schritt 4.5.1.4.1

Faktorisiere $2359296$ aus $4296278016$ heraus.

$p = \frac{65546 \pm \sqrt{2359296 (1821)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.4.2

Schreibe $2359296$ als $1536^{2}$ um.

$p = \frac{65546 \pm \sqrt{1536^{2} \cdot 1821}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$p = \frac{65546 \pm 1536 \sqrt{1821}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$p = \frac{65546 \pm 1536 \sqrt{1821}}{2}$

Schritt 4.5.3

Vereinfache $\frac{65546 \pm 1536 \sqrt{1821}}{2}$ .

$p = 32773 \pm 768 \sqrt{1821}$

Schritt 4.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$p = 32773 + 768 \sqrt{1821}, 32773 - 768 \sqrt{1821}$

Schritt 5

Schließe die Lösungen aus, die $p - 4^{4} \sqrt{p} - 5 = 0$ nicht erfüllen.

$p = 32773 + 768 \sqrt{1821}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$p = 32773 + 768 \sqrt{1821}$

Dezimalform:

$p = 65545.99961858 \dots$