Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{1}{f} + \frac{1}{t} + \frac{1}{k} = t$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $t$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $\frac{1}{f}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{1}{t} + \frac{1}{k} = t - \frac{1}{f}$

Schritt 1.2

Subtrahiere $\frac{1}{k}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{1}{t} = t - \frac{1}{f} - \frac{1}{k}$

Schritt 2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$t, 1, f, k$

Schritt 2.2

Since $t, 1, f, k$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $t^{1}, f^{1}, k^{1}$ .

Schritt 2.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 2.4

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 2.5

Das kgV von $1, 1, 1, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$1$

Schritt 2.6

Der Teiler von $t^{1}$ ist $t$ selbst.

$t^{1} = t$

$t$ occurs $1$ time.

Schritt 2.7

Der Teiler von $f^{1}$ ist $f$ selbst.

$f^{1} = f$

$f$ occurs $1$ time.

Schritt 2.8

Der Teiler von $k^{1}$ ist $k$ selbst.

$k^{1} = k$

$k$ occurs $1$ time.

Schritt 2.9

Das kgV von $t^{1}, f^{1}, k^{1}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$t \cdot f \cdot k$

Schritt 2.10

Mutltipliziere $t f$ mit $k$ .

$t f k$

Schritt 3

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{t} = t - \frac{1}{f} - \frac{1}{k}$ mit $t f k$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{t} = t - \frac{1}{f} - \frac{1}{k}$ mit $t f k$ .

$\frac{1}{t} (t f k) = t (t f k) - \frac{1}{f} (t f k) - \frac{1}{k} (t f k)$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t$ .

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Schritt 3.2.1.1

Faktorisiere $t$ aus $t f k$ heraus.

$\frac{1}{t} (t (f k)) = t (t f k) - \frac{1}{f} (t f k) - \frac{1}{k} (t f k)$

Schritt 3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{t} (t (f k)) = t (t f k) - \frac{1}{f} (t f k) - \frac{1}{k} (t f k)$

Schritt 3.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$f k = t (t f k) - \frac{1}{f} (t f k) - \frac{1}{k} (t f k)$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1

Multipliziere $t$ mit $t$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.1.1

Bewege $t$ .

$f k = t \cdot t (f k) - \frac{1}{f} (t f k) - \frac{1}{k} (t f k)$

Schritt 3.3.1.1.2

Mutltipliziere $t$ mit $t$ .

$f k = t^{2} (f k) - \frac{1}{f} (t f k) - \frac{1}{k} (t f k)$

Schritt 3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $f$ .

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Schritt 3.3.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{f}$ in den Zähler.

$f k = t^{2} f k + \frac{- 1}{f} (t f k) - \frac{1}{k} (t f k)$

Schritt 3.3.1.2.2

Faktorisiere $f$ aus $t f k$ heraus.

$f k = t^{2} f k + \frac{- 1}{f} (f (t k)) - \frac{1}{k} (t f k)$

Schritt 3.3.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f k = t^{2} f k + \frac{- 1}{f} (f (t k)) - \frac{1}{k} (t f k)$

Schritt 3.3.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$f k = t^{2} f k - (t k) - \frac{1}{k} (t f k)$

Schritt 3.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $k$ .

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Schritt 3.3.1.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{k}$ in den Zähler.

$f k = t^{2} f k - t k + \frac{- 1}{k} (t f k)$

Schritt 3.3.1.3.2

Faktorisiere $k$ aus $t f k$ heraus.

$f k = t^{2} f k - t k + \frac{- 1}{k} (k (t f))$

Schritt 3.3.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f k = t^{2} f k - t k + \frac{- 1}{k} (k (t f))$

Schritt 3.3.1.3.4

Forme den Ausdruck um.

$f k = t^{2} f k - t k - (t f)$

$f k = t^{2} f k - t k - t f$

Schritt 4

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $t^{2} f k - t k - t f = f k$ um.

$t^{2} f k - t k - t f = f k$

Schritt 4.2

Subtrahiere $f k$ von beiden Seiten der Gleichung.

$t^{2} f k - t k - t f - f k = 0$

Schritt 4.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.4

Setze die Werte $a = f k$ , $b = - k - f$ und $c = - f k$ in die Quadratformel ein und löse nach $t$ auf.

$\frac{- (- k - f) \pm \sqrt{{(- k - f)}^{2} - 4 \cdot (f k \cdot (- f k))}}{2 (f k)}$

Schritt 4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$t = \frac{k + f \pm \sqrt{{(- k - f)}^{2} - 4 \cdot (f k) \cdot (- f k)}}{2 f k}$

Schritt 4.5.2

Multipliziere $- - k$ .

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Schritt 4.5.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$t = \frac{1 k + f \pm \sqrt{{(- k - f)}^{2} - 4 \cdot (f k) \cdot (- f k)}}{2 f k}$

Schritt 4.5.2.2

Mutltipliziere $k$ mit $1$ .

$t = \frac{k + f \pm \sqrt{{(- k - f)}^{2} - 4 \cdot (f k) \cdot (- f k)}}{2 f k}$

Schritt 4.5.3

Multipliziere $- - f$ .

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Schritt 4.5.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$t = \frac{k + 1 f \pm \sqrt{{(- k - f)}^{2} - 4 \cdot (f k) \cdot (- f k)}}{2 f k}$

Schritt 4.5.3.2

Mutltipliziere $f$ mit $1$ .

$t = \frac{k + f \pm \sqrt{{(- k - f)}^{2} - 4 \cdot (f k) \cdot (- f k)}}{2 f k}$

Schritt 4.5.4

Schreibe ${(- k - f)}^{2}$ als $(- k - f) (- k - f)$ um.

$t = \frac{k + f \pm \sqrt{(- k - f) (- k - f) - 4 \cdot (f k) \cdot (- f k)}}{2 f k}$

Schritt 4.5.5

Multipliziere $(- k - f) (- k - f)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.5.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$t = \frac{k + f \pm \sqrt{- k (- k - f) - f (- k - f) - 4 \cdot (f k) \cdot (- f k)}}{2 f k}$

Schritt 4.5.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$t = \frac{k + f \pm \sqrt{- k (- k) - k (- f) - f (- k - f) - 4 \cdot (f k) \cdot (- f k)}}{2 f k}$

Schritt 4.5.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$t = \frac{k + f \pm \sqrt{- k (- k) - k (- f) - f (- k) - f (- f) - 4 \cdot (f k) \cdot (- f k)}}{2 f k}$

Schritt 4.5.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.5.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.5.6.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$t = \frac{k + f \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 k \cdot k) - k (- f) - f (- k) - f (- f) - 4 \cdot (f k) \cdot (- f k)}}{2 f k}$

Schritt 4.5.6.1.2

Multipliziere $k$ mit $k$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.5.6.1.2.1

Bewege $k$ .

$t = \frac{k + f \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 (k \cdot k)) - k (- f) - f (- k) - f (- f) - 4 \cdot (f k) \cdot (- f k)}}{2 f k}$

Schritt 4.5.6.1.2.2

Mutltipliziere $k$ mit $k$ .

$t = \frac{k + f \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 k^{2}) - k (- f) - f (- k) - f (- f) - 4 \cdot (f k) \cdot (- f k)}}{2 f k}$

Schritt 4.5.6.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$t = \frac{k + f \pm \sqrt{1 k^{2} - k (- f) - f (- k) - f (- f) - 4 \cdot (f k) \cdot (- f k)}}{2 f k}$

Schritt 4.5.6.1.4

Mutltipliziere $k^{2}$ mit $1$ .

$t = \frac{k + f \pm \sqrt{k^{2} - k (- f) - f (- k) - f (- f) - 4 \cdot (f k) \cdot (- f k)}}{2 f k}$

Schritt 4.5.6.1.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$t = \frac{k + f \pm \sqrt{k^{2} - 1 \cdot (- 1 k f) - f (- k) - f (- f) - 4 \cdot (f k) \cdot (- f k)}}{2 f k}$

Schritt 4.5.6.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$t = \frac{k + f \pm \sqrt{k^{2} + 1 k f - f (- k) - f (- f) - 4 \cdot (f k) \cdot (- f k)}}{2 f k}$

Schritt 4.5.6.1.7

Mutltipliziere $k$ mit $1$ .

$t = \frac{k + f \pm \sqrt{k^{2} + k f - f (- k) - f (- f) - 4 \cdot (f k) \cdot (- f k)}}{2 f k}$

Schritt 4.5.6.1.8

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$t = \frac{k + f \pm \sqrt{k^{2} + k f - 1 \cdot (- 1 f k) - f (- f) - 4 \cdot (f k) \cdot (- f k)}}{2 f k}$

Schritt 4.5.6.1.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$t = \frac{k + f \pm \sqrt{k^{2} + k f + 1 f k - f (- f) - 4 \cdot (f k) \cdot (- f k)}}{2 f k}$

Schritt 4.5.6.1.10

Mutltipliziere $f$ mit $1$ .

$t = \frac{k + f \pm \sqrt{k^{2} + k f + f k - f (- f) - 4 \cdot (f k) \cdot (- f k)}}{2 f k}$

Schritt 4.5.6.1.11

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$t = \frac{k + f \pm \sqrt{k^{2} + k f + f k - 1 \cdot (- 1 f \cdot f) - 4 \cdot (f k) \cdot (- f k)}}{2 f k}$

Schritt 4.5.6.1.12

Multipliziere $f$ mit $f$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.5.6.1.12.1

Bewege $f$ .

$t = \frac{k + f \pm \sqrt{k^{2} + k f + f k - 1 \cdot (- 1 (f \cdot f)) - 4 \cdot (f k) \cdot (- f k)}}{2 f k}$

Schritt 4.5.6.1.12.2

Mutltipliziere $f$ mit $f$ .

$t = \frac{k + f \pm \sqrt{k^{2} + k f + f k - 1 \cdot (- 1 f^{2}) - 4 \cdot (f k) \cdot (- f k)}}{2 f k}$

Schritt 4.5.6.1.13

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$t = \frac{k + f \pm \sqrt{k^{2} + k f + f k + 1 f^{2} - 4 \cdot (f k) \cdot (- f k)}}{2 f k}$

Schritt 4.5.6.1.14

Mutltipliziere $f^{2}$ mit $1$ .

$t = \frac{k + f \pm \sqrt{k^{2} + k f + f k + f^{2} - 4 \cdot (f k) \cdot (- f k)}}{2 f k}$

Schritt 4.5.6.2

Addiere $k f$ und $f k$ .

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Schritt 4.5.6.2.1

Stelle $k$ und $f$ um.

$t = \frac{k + f \pm \sqrt{k^{2} + f k + f k + f^{2} - 4 \cdot (f k) \cdot (- f k)}}{2 f k}$

Schritt 4.5.6.2.2

Addiere $f k$ und $f k$ .

$t = \frac{k + f \pm \sqrt{k^{2} + 2 f k + f^{2} - 4 \cdot (f k) \cdot (- f k)}}{2 f k}$

Schritt 4.5.7

Multipliziere $f$ mit $f$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.5.7.1

Bewege $f$ .

$t = \frac{k + f \pm \sqrt{k^{2} + 2 f k + f^{2} - 4 \cdot ((f \cdot f) k) \cdot (- 1 k)}}{2 f k}$

Schritt 4.5.7.2

Mutltipliziere $f$ mit $f$ .

$t = \frac{k + f \pm \sqrt{k^{2} + 2 f k + f^{2} - 4 \cdot (f^{2} k) \cdot (- 1 k)}}{2 f k}$

Schritt 4.5.8

Multipliziere $k$ mit $k$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.5.8.1

Bewege $k$ .

$t = \frac{k + f \pm \sqrt{k^{2} + 2 f k + f^{2} - 4 \cdot (f^{2} (k \cdot k)) \cdot - 1}}{2 f k}$

Schritt 4.5.8.2

Mutltipliziere $k$ mit $k$ .

$t = \frac{k + f \pm \sqrt{k^{2} + 2 f k + f^{2} - 4 \cdot (f^{2} k^{2}) \cdot - 1}}{2 f k}$

Schritt 4.5.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$t = \frac{k + f \pm \sqrt{k^{2} + 2 f k + f^{2} + 4 f^{2} k^{2}}}{2 f k}$

Schritt 4.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$t = \frac{k + f + \sqrt{k^{2} + 2 f k + f^{2} + 4 f^{2} k^{2}}}{2 f k}$

$t = \frac{k + f - \sqrt{k^{2} + 2 f k + f^{2} + 4 f^{2} k^{2}}}{2 f k}$

$t = \frac{k + f + \sqrt{k^{2} + 2 f k + f^{2} + 4 f^{2} k^{2}}}{2 f k}$

$t = \frac{k + f - \sqrt{k^{2} + 2 f k + f^{2} + 4 f^{2} k^{2}}}{2 f k}$