Grundlegende Mathematik Beispiele

$0.072 v - \frac{243}{v^{2}} = 0$

Schritt 1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, v^{2}, 1$

Schritt 1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$v^{2}$

Schritt 2

Multipliziere jeden Term in $0.072 v - \frac{243}{v^{2}} = 0$ mit $v^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Term in $0.072 v - \frac{243}{v^{2}} = 0$ mit $v^{2}$ .

$0.072 v \cdot v^{2} - \frac{243}{v^{2}} v^{2} = 0 v^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere $v$ mit $v^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.1.1.1

Bewege $v^{2}$ .

$0.072 (v^{2} v) - \frac{243}{v^{2}} v^{2} = 0 v^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2

Mutltipliziere $v^{2}$ mit $v$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Potenziere $v$ mit $1$ .

$0.072 (v^{2} v^{1}) - \frac{243}{v^{2}} v^{2} = 0 v^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$0.072 v^{2 + 1} - \frac{243}{v^{2}} v^{2} = 0 v^{2}$

Schritt 2.2.1.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$0.072 v^{3} - \frac{243}{v^{2}} v^{2} = 0 v^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $v^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{243}{v^{2}}$ in den Zähler.

$0.072 v^{3} + \frac{- 243}{v^{2}} v^{2} = 0 v^{2}$

Schritt 2.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0.072 v^{3} + \frac{- 243}{v^{2}} v^{2} = 0 v^{2}$

Schritt 2.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$0.072 v^{3} - 243 = 0 v^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $v^{2}$ .

$0.072 v^{3} - 243 = 0$

Schritt 3

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.1

Addiere $243$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$0.072 v^{3} = 243$

Schritt 3.2

Subtrahiere $243$ von beiden Seiten der Gleichung.

$0.072 v^{3} - 243 = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $0.072$ aus $0.072 v^{3} - 243$ heraus.

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Schritt 3.3.1.1

Faktorisiere $0.072$ aus $0.072 v^{3}$ heraus.

$0.072 (v^{3}) - 243 = 0$

Schritt 3.3.1.2

Faktorisiere $0.072$ aus $- 243$ heraus.

$0.072 v^{3} + 0.072 \cdot - 3375 = 0$

Schritt 3.3.1.3

Faktorisiere $0.072$ aus $0.072 v^{3} + 0.072 \cdot - 3375$ heraus.

$0.072 (v^{3} - 3375) = 0$

Schritt 3.3.2

Schreibe $3375$ als $15^{3}$ um.

$0.072 (v^{3} - 15^{3}) = 0$

Schritt 3.3.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = v$ und $b = 15$ .

$0.072 ((v - 15) (v^{2} + v \cdot 15 + 15^{2})) = 0$

Schritt 3.3.4

Faktorisiere.

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Schritt 3.3.4.1

Vereinfache.

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Schritt 3.3.4.1.1

Bringe $15$ auf die linke Seite von $v$ .

$0.072 ((v - 15) (v^{2} + 15 v + 15^{2})) = 0$

Schritt 3.3.4.1.2

Potenziere $15$ mit $2$ .

$0.072 ((v - 15) (v^{2} + 15 v + 225)) = 0$

Schritt 3.3.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$0.072 (v - 15) (v^{2} + 15 v + 225) = 0$

Schritt 3.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$v - 15 = 0$

$v^{2} + 15 v + 225 = 0$

Schritt 3.5

Setze $v - 15$ gleich $0$ und löse nach $v$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $v - 15$ gleich $0$ .

$v - 15 = 0$

Schritt 3.5.2

Addiere $15$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$v = 15$

Schritt 3.6

Setze $v^{2} + 15 v + 225$ gleich $0$ und löse nach $v$ auf.

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Schritt 3.6.1

Setze $v^{2} + 15 v + 225$ gleich $0$ .

$v^{2} + 15 v + 225 = 0$

Schritt 3.6.2

Löse $v^{2} + 15 v + 225 = 0$ nach $v$ auf.

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Schritt 3.6.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.6.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 15$ und $c = 225$ in die Quadratformel ein und löse nach $v$ auf.

$\frac{- 15 \pm \sqrt{15^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 225)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.2.3

Vereinfache.

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Schritt 3.6.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.2.3.1.1

Potenziere $15$ mit $2$ .

$v = \frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 4 \cdot 1 \cdot 225}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 225$ .

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Schritt 3.6.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$v = \frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 4 \cdot 225}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $225$ .

$v = \frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 900}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.2.3.1.3

Subtrahiere $900$ von $225$ .

$v = \frac{- 15 \pm \sqrt{- 675}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.2.3.1.4

Schreibe $- 675$ als $- 1 (675)$ um.

$v = \frac{- 15 \pm \sqrt{- 1 \cdot 675}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (675)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{675}$ um.

$v = \frac{- 15 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{675}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$v = \frac{- 15 \pm i \cdot \sqrt{675}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.2.3.1.7

Schreibe $675$ als $15^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 3.6.2.3.1.7.1

Faktorisiere $225$ aus $675$ heraus.

$v = \frac{- 15 \pm i \cdot \sqrt{225 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.2.3.1.7.2

Schreibe $225$ als $15^{2}$ um.

$v = \frac{- 15 \pm i \cdot \sqrt{15^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$v = \frac{- 15 \pm i \cdot (15 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.2.3.1.9

Bringe $15$ auf die linke Seite von $i$ .

$v = \frac{- 15 \pm 15 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$v = \frac{- 15 \pm 15 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 3.6.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$v = - \frac{15 - 15 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{15 + 15 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $0.072 (v - 15) (v^{2} + 15 v + 225) = 0$ wahr machen.

$v = 15, - \frac{15 - 15 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{15 + 15 i \sqrt{3}}{2}$