Grundlegende Mathematik Beispiele

$r = 2 y^{2} + 2 y - 1$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $2 y^{2} + 2 y - 1 = r$ um.

$2 y^{2} + 2 y - 1 = r$

Schritt 2

Subtrahiere $r$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y^{2} + 2 y - 1 - r = 0$

Schritt 3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4

Setze die Werte $a = 2$ , $b = 2$ und $c = - 1 - r$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (- 1 - r))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 1 - r)$ heraus.

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Schritt 5.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2^{2}$ heraus.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 \cdot 2 - 4 \cdot 2 \cdot (- 1 - r)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4 \cdot 2 \cdot (- 1 - r)$ heraus.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 \cdot 2 + 2 (- 2 \cdot 2 \cdot (- 1 - r))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 2 + 2 (- 2 \cdot 2 \cdot (- 1 - r))$ heraus.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 (2 - 2 \cdot 2 \cdot (- 1 - r))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2 - 2 \cdot 2 \cdot (- 1 - r)$ heraus.

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Schritt 5.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 (2 (1) - 2 \cdot 2 \cdot (- 1 - r))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \cdot 2 \cdot (- 1 - r)$ heraus.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 (2 (1) + 2 (- 1 \cdot 2 \cdot (- 1 - r)))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (1) + 2 (- 1 \cdot 2 \cdot (- 1 - r))$ heraus.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 (2 (1 - 1 \cdot 2 \cdot (- 1 - r)))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 (2 (1 - 2 \cdot (- 1 - r)))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 (2 (1 - 2 \cdot - 1 - 2 (- r)))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 (2 (1 + 2 - 2 (- r)))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 (2 (1 + 2 + 2 r))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.7

Addiere $1$ und $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 \cdot (2 (3 + 2 r))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.8

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (3 + 2 r)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.9

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (3 + 2 r)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.10

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3 + 2 r}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3 + 2 r}}{4}$

Schritt 5.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3 + 2 r}}{4}$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{3 + 2 r}}{2}$

Schritt 6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = - \frac{1 - \sqrt{3 + 2 r}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{2 r + 3}}{2}$