Grundlegende Mathematik Beispiele

$y = - \frac{2}{3} \cdot {(y - 9)}^{2}$

Schritt 1

Vereinfache $- \frac{2}{3} \cdot {(y - 9)}^{2}$ .

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Schritt 1.1

Schreibe ${(y - 9)}^{2}$ als $(y - 9) (y - 9)$ um.

$y = - \frac{2}{3} \cdot ((y - 9) (y - 9))$

Schritt 1.2

Multipliziere $(y - 9) (y - 9)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - \frac{2}{3} \cdot (y (y - 9) - 9 (y - 9))$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - \frac{2}{3} \cdot (y \cdot y + y \cdot - 9 - 9 (y - 9))$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - \frac{2}{3} \cdot (y \cdot y + y \cdot - 9 - 9 y - 9 \cdot - 9)$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$y = - \frac{2}{3} \cdot (y^{2} + y \cdot - 9 - 9 y - 9 \cdot - 9)$

Schritt 1.3.1.2

Bringe $- 9$ auf die linke Seite von $y$ .

$y = - \frac{2}{3} \cdot (y^{2} - 9 \cdot y - 9 y - 9 \cdot - 9)$

Schritt 1.3.1.3

Mutltipliziere $- 9$ mit $- 9$ .

$y = - \frac{2}{3} \cdot (y^{2} - 9 y - 9 y + 81)$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere $9 y$ von $- 9 y$ .

$y = - \frac{2}{3} \cdot (y^{2} - 18 y + 81)$

Schritt 1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - \frac{2}{3} y^{2} - \frac{2}{3} (- 18 y) - \frac{2}{3} \cdot 81$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Kombiniere $y^{2}$ und $\frac{2}{3}$ .

$y = - \frac{y^{2} \cdot 2}{3} - \frac{2}{3} (- 18 y) - \frac{2}{3} \cdot 81$

Schritt 1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.5.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2}{3}$ in den Zähler.

$y = - \frac{y^{2} \cdot 2}{3} + \frac{- 2}{3} (- 18 y) - \frac{2}{3} \cdot 81$

Schritt 1.5.2.2

Faktorisiere $3$ aus $- 18 y$ heraus.

$y = - \frac{y^{2} \cdot 2}{3} + \frac{- 2}{3} (3 (- 6 y)) - \frac{2}{3} \cdot 81$

Schritt 1.5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \frac{y^{2} \cdot 2}{3} + \frac{- 2}{3} (3 (- 6 y)) - \frac{2}{3} \cdot 81$

Schritt 1.5.2.4

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{y^{2} \cdot 2}{3} - 2 (- 6 y) - \frac{2}{3} \cdot 81$

Schritt 1.5.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 2$ .

$y = - \frac{y^{2} \cdot 2}{3} + 12 y - \frac{2}{3} \cdot 81$

Schritt 1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.5.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2}{3}$ in den Zähler.

$y = - \frac{y^{2} \cdot 2}{3} + 12 y + \frac{- 2}{3} \cdot 81$

Schritt 1.5.4.2

Faktorisiere $3$ aus $81$ heraus.

$y = - \frac{y^{2} \cdot 2}{3} + 12 y + \frac{- 2}{3} \cdot (3 (27))$

Schritt 1.5.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \frac{y^{2} \cdot 2}{3} + 12 y + \frac{- 2}{3} \cdot (3 \cdot 27)$

Schritt 1.5.4.4

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{y^{2} \cdot 2}{3} + 12 y - 2 \cdot 27$

Schritt 1.5.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $27$ .

$y = - \frac{y^{2} \cdot 2}{3} + 12 y - 54$

Schritt 1.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y^{2}$ .

$y = - \frac{2 y^{2}}{3} + 12 y - 54$

Schritt 2

Da $y$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$- \frac{2 y^{2}}{3} + 12 y - 54 = y$

Schritt 3

Bringe alle Terme, die $y$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{2 y^{2}}{3} + 12 y - 54 - y = 0$

Schritt 3.2

Subtrahiere $y$ von $12 y$ .

$- \frac{2 y^{2}}{3} + 11 y - 54 = 0$

Schritt 4

Multipliziere mit dem Hauptnenner $3$ aus und vereinfache dann.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (- \frac{2 y^{2}}{3}) + 3 (11 y) + 3 \cdot - 54 = 0$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2 y^{2}}{3}$ in den Zähler.

$3 (\frac{- 2 y^{2}}{3}) + 3 (11 y) + 3 \cdot - 54 = 0$

Schritt 4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 (\frac{- 2 y^{2}}{3}) + 3 (11 y) + 3 \cdot - 54 = 0$

Schritt 4.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 2 y^{2} + 3 (11 y) + 3 \cdot - 54 = 0$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $11$ mit $3$ .

$- 2 y^{2} + 33 y + 3 \cdot - 54 = 0$

Schritt 4.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 54$ .

$- 2 y^{2} + 33 y - 162 = 0$

Schritt 5

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6

Setze die Werte $a = - 2$ , $b = 33$ und $c = - 162$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{- 33 \pm \sqrt{33^{2} - 4 \cdot (- 2 \cdot - 162)}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Potenziere $33$ mit $2$ .

$y = \frac{- 33 \pm \sqrt{1089 - 4 \cdot - 2 \cdot - 162}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 2 \cdot - 162$ .

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Schritt 7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 2$ .

$y = \frac{- 33 \pm \sqrt{1089 + 8 \cdot - 162}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 7.1.2.2

Mutltipliziere $8$ mit $- 162$ .

$y = \frac{- 33 \pm \sqrt{1089 - 1296}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 7.1.3

Subtrahiere $1296$ von $1089$ .

$y = \frac{- 33 \pm \sqrt{- 207}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 7.1.4

Schreibe $- 207$ als $- 1 (207)$ um.

$y = \frac{- 33 \pm \sqrt{- 1 \cdot 207}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 7.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (207)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{207}$ um.

$y = \frac{- 33 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{207}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 7.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$y = \frac{- 33 \pm i \cdot \sqrt{207}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 7.1.7

Schreibe $207$ als $3^{2} \cdot 23$ um.

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Schritt 7.1.7.1

Faktorisiere $9$ aus $207$ heraus.

$y = \frac{- 33 \pm i \cdot \sqrt{9 (23)}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 7.1.7.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$y = \frac{- 33 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 23}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 7.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 33 \pm i \cdot (3 \sqrt{23})}{2 \cdot - 2}$

Schritt 7.1.9

Bringe $3$ auf die linke Seite von $i$ .

$y = \frac{- 33 \pm 3 i \sqrt{23}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$y = \frac{- 33 \pm 3 i \sqrt{23}}{- 4}$

Schritt 7.3

Vereinfache $\frac{- 33 \pm 3 i \sqrt{23}}{- 4}$ .

$y = \frac{33 \pm 3 i \sqrt{23}}{4}$

Schritt 8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = \frac{33 + 3 i \sqrt{23}}{4}, \frac{33 - 3 i \sqrt{23}}{4}$