Grundlegende Mathematik Beispiele

$8 y^{3} + 125 = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $125$ von beiden Seiten der Gleichung.

$8 y^{3} = - 125$

Schritt 2

Addiere $125$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$8 y^{3} + 125 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Schreibe $8 y^{3}$ als ${(2 y)}^{3}$ um.

${(2 y)}^{3} + 125 = 0$

Schritt 3.2

Schreibe $125$ als $5^{3}$ um.

${(2 y)}^{3} + 5^{3} = 0$

Schritt 3.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = 2 y$ und $b = 5$ .

$(2 y + 5) ({(2 y)}^{2} - 2 y \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Wende die Produktregel auf $2 y$ an.

$(2 y + 5) (2^{2} y^{2} - 2 y \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Schritt 3.4.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$(2 y + 5) (4 y^{2} - 2 y \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$(2 y + 5) (4 y^{2} - 2 y \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Schritt 3.4.4

Mutltipliziere $5$ mit $- 2$ .

$(2 y + 5) (4 y^{2} - 10 y + 5^{2}) = 0$

Schritt 3.4.5

Potenziere $5$ mit $2$ .

$(2 y + 5) (4 y^{2} - 10 y + 25) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 y + 5 = 0$

$4 y^{2} - 10 y + 25 = 0$

Schritt 5

Setze $2 y + 5$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $2 y + 5$ gleich $0$ .

$2 y + 5 = 0$

Schritt 5.2

Löse $2 y + 5 = 0$ nach $y$ auf.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y = - 5$

Schritt 5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 y = - 5$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y = - 5$ durch $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{- 5}{2}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{2} = \frac{- 5}{2}$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 5}{2}$

Schritt 5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{5}{2}$

Schritt 6

Setze $4 y^{2} - 10 y + 25$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $4 y^{2} - 10 y + 25$ gleich $0$ .

$4 y^{2} - 10 y + 25 = 0$

Schritt 6.2

Löse $4 y^{2} - 10 y + 25 = 0$ nach $y$ auf.

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Schritt 6.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6.2.2

Setze die Werte $a = 4$ , $b = - 10$ und $c = 25$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 25)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache.

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Schritt 6.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.3.1.1

Potenziere $- 10$ mit $2$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 4 \cdot 25}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot 25$ .

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Schritt 6.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 16 \cdot 25}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $25$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 400}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.2.3.1.3

Subtrahiere $400$ von $100$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{- 300}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.2.3.1.4

Schreibe $- 300$ als $- 1 (300)$ um.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 300}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (300)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{300}$ um.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{300}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$y = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{300}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.2.3.1.7

Schreibe $300$ als $10^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 6.2.3.1.7.1

Faktorisiere $100$ aus $300$ heraus.

$y = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{100 (3)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.2.3.1.7.2

Schreibe $100$ als $10^{2}$ um.

$y = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{10^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{10 \pm i \cdot (10 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.2.3.1.9

Bringe $10$ auf die linke Seite von $i$ .

$y = \frac{10 \pm 10 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$y = \frac{10 \pm 10 i \sqrt{3}}{8}$

Schritt 6.2.3.3

Vereinfache $\frac{10 \pm 10 i \sqrt{3}}{8}$ .

$y = \frac{5 \pm 5 i \sqrt{3}}{4}$

Schritt 6.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{4}, \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{4}$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 y + 5) (4 y^{2} - 10 y + 25) = 0$ wahr machen.

$y = - \frac{5}{2}, \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{4}, \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{4}$