Grundlegende Mathematik Beispiele

$8 y^{2} {(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} + {(y^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}} = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Faktorisiere ${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ aus $8 y^{2} {(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} + {(y^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere ${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ aus $8 y^{2} {(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ heraus.

${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} (8 y^{2}) + {(y^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}} = 0$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere ${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ aus ${(y^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}$ heraus.

${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} (8 y^{2}) + {(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} {(y^{2} - 4)}^{\frac{3}{3}} = 0$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere ${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ aus ${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} (8 y^{2}) + {(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} {(y^{2} - 4)}^{\frac{3}{3}}$ heraus.

${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} (8 y^{2} + {(y^{2} - 4)}^{\frac{3}{3}}) = 0$

Schritt 1.2

Dividiere $3$ durch $3$ .

${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} (8 y^{2} + y^{2} - 4) = 0$

Schritt 1.3

Vereinfache.

${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} (8 y^{2} + y^{2} - 4) = 0$

Schritt 1.4

Addiere $8 y^{2}$ und $y^{2}$ .

${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} (9 y^{2} - 4) = 0$

Schritt 1.5

Faktorisiere.

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Schritt 1.5.1

Schreibe $9 y^{2} - 4$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 1.5.1.1

Schreibe $9 y^{2}$ als ${(3 y)}^{2}$ um.

${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} ({(3 y)}^{2} - 4) = 0$

Schritt 1.5.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} ({(3 y)}^{2} - 2^{2}) = 0$

Schritt 1.5.1.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 3 y$ und $b = 2$ .

${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} ((3 y + 2) (3 y - 2)) = 0$

Schritt 1.5.2

Entferne unnötige Klammern.

${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} (3 y + 2) (3 y - 2) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} = 0$

$3 y + 2 = 0$

$3 y - 2 = 0$

Schritt 3

Setze ${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Setze ${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ gleich $0$ .

${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} = 0$

Schritt 3.2

Löse ${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} = 0$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.2.1

Setze $y^{2} - 4$ gleich $0$ .

$y^{2} - 4 = 0$

Schritt 3.2.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.2.2.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} = 4$

Schritt 3.2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{4}$

Schritt 3.2.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{4}$ .

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Schritt 3.2.2.3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{2^{2}}$

Schritt 3.2.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$y = \pm 2$

Schritt 3.2.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.2.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = 2$

Schritt 3.2.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - 2$

Schritt 3.2.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = 2, - 2$

Schritt 4

Setze $3 y + 2$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $3 y + 2$ gleich $0$ .

$3 y + 2 = 0$

Schritt 4.2

Löse $3 y + 2 = 0$ nach $y$ auf.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 y = - 2$

Schritt 4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 y = - 2$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y = - 2$ durch $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{- 2}{3}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y}{3} = \frac{- 2}{3}$

Schritt 4.2.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 2}{3}$

Schritt 4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{2}{3}$

Schritt 5

Setze $3 y - 2$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $3 y - 2$ gleich $0$ .

$3 y - 2 = 0$

Schritt 5.2

Löse $3 y - 2 = 0$ nach $y$ auf.

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Schritt 5.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 y = 2$

Schritt 5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 y = 2$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y = 2$ durch $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{2}{3}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y}{3} = \frac{2}{3}$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{2}{3}$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die ${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} (3 y + 2) (3 y - 2) = 0$ wahr machen.

$y = 2, - 2, - \frac{2}{3}, \frac{2}{3}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$y = 2, - 2, - \frac{2}{3}, \frac{2}{3}$

Dezimalform:

$y = 2, - 2, - 0.\overline{6}, 0.\overline{6}$