Grundlegende Mathematik Beispiele

$3 \cdot 3^{2 y} - 4 \cdot 3^{y} = - 1$

Schritt 1

Schreibe $3^{2 y}$ als Potenz um.

$3 \cdot {(3^{y})}^{2} - 4 \cdot 3^{y} = - 1$

Schritt 2

Ersetze $3^{y}$ durch $u$ .

$3 \cdot u^{2} - 4 \cdot u = - 1$

Schritt 3

Mutltipliziere $- 4$ mit $u$ .

$3 u^{2} - 4 u = - 1$

Schritt 4

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 4.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 u^{2} - 4 u + 1 = 0$

Schritt 4.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ und deren Summe gleich $b = - 4$ ist.

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Schritt 4.2.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 u$ heraus.

$3 u^{2} - 4 u + 1 = 0$

Schritt 4.2.1.2

Schreibe $- 4$ um als $- 1$ plus $- 3$

$3 u^{2} + (- 1 - 3) u + 1 = 0$

Schritt 4.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 u^{2} - 1 u - 3 u + 1 = 0$

Schritt 4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(3 u^{2} - 1 u) - 3 u + 1 = 0$

Schritt 4.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$u (3 u - 1) - (3 u - 1) = 0$

Schritt 4.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 u - 1$ .

$(3 u - 1) (u - 1) = 0$

Schritt 4.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 u - 1 = 0$

$u - 1 = 0$

Schritt 4.4

Setze $3 u - 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 4.4.1

Setze $3 u - 1$ gleich $0$ .

$3 u - 1 = 0$

Schritt 4.4.2

Löse $3 u - 1 = 0$ nach $u$ auf.

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Schritt 4.4.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 u = 1$

Schritt 4.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 u = 1$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 4.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 u = 1$ durch $3$ .

$\frac{3 u}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 4.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 u}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 4.4.2.2.2.1.2

Dividiere $u$ durch $1$ .

$u = \frac{1}{3}$

Schritt 4.5

Setze $u - 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 4.5.1

Setze $u - 1$ gleich $0$ .

$u - 1 = 0$

Schritt 4.5.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 1$

Schritt 4.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(3 u - 1) (u - 1) = 0$ wahr machen.

$u = \frac{1}{3}, 1$

Schritt 5

Setze $\frac{1}{3}$ für $u$ in $u = 3^{y}$ ein.

$\frac{1}{3} = 3^{y}$

Schritt 6

Löse $\frac{1}{3} = 3^{y}$ .

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $3^{y} = \frac{1}{3}$ um.

$3^{y} = \frac{1}{3}$

Schritt 6.2

Potenziere $3$ mit $1$ .

$3^{y} = \frac{1}{3^{1}}$

Schritt 6.3

Bringe $3^{1}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$3^{y} = 3^{- 1}$

Schritt 6.4

Da die Basen gleich sind, sind zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$y = - 1$

Schritt 7

Setze $1$ für $u$ in $u = 3^{y}$ ein.

$1 = 3^{y}$

Schritt 8

Löse $1 = 3^{y}$ .

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Schritt 8.1

Schreibe die Gleichung als $3^{y} = 1$ um.

$3^{y} = 1$

Schritt 8.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (3^{y}) = \ln (1)$

Schritt 8.3

Zerlege $\ln (3^{y})$ durch Herausziehen von $y$ aus dem Logarithmus.

$y \ln (3) = \ln (1)$

Schritt 8.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.4.1

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$y \ln (3) = 0$

Schritt 8.5

Teile jeden Ausdruck in $y \ln (3) = 0$ durch $\ln (3)$ und vereinfache.

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Schritt 8.5.1

Teile jeden Ausdruck in $y \ln (3) = 0$ durch $\ln (3)$ .

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

Schritt 8.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (3)$ .

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Schritt 8.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

Schritt 8.5.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{0}{\ln (3)}$

Schritt 8.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.5.3.1

Dividiere $0$ durch $\ln (3)$ .

$y = 0$

Schritt 9

Liste die Lösungen auf, die die Gleichung erfüllen.

$y = - 1, 0$