Grundlegende Mathematik Beispiele

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0 {(y - \frac{1}{3})}^{2}$

Schritt 1

Vereinfache $0 {(y - \frac{1}{3})}^{2}$ .

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Schritt 1.1

Forme um.

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0 + 0 + 0 {(y - \frac{1}{3})}^{2}$

Schritt 1.2

Schreibe ${(y - \frac{1}{3})}^{2}$ als $(y - \frac{1}{3}) (y - \frac{1}{3})$ um.

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0 ((y - \frac{1}{3}) (y - \frac{1}{3}))$

Schritt 1.3

Multipliziere $(y - \frac{1}{3}) (y - \frac{1}{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0 (y (y - \frac{1}{3}) - \frac{1}{3} (y - \frac{1}{3}))$

Schritt 1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0 (y \cdot y + y (- \frac{1}{3}) - \frac{1}{3} (y - \frac{1}{3}))$

Schritt 1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0 (y \cdot y + y (- \frac{1}{3}) - \frac{1}{3} y - \frac{1}{3} (- \frac{1}{3}))$

Schritt 1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1.1

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0 (y^{2} + y (- \frac{1}{3}) - \frac{1}{3} y - \frac{1}{3} (- \frac{1}{3}))$

Schritt 1.4.1.2

Kombiniere $y$ und $\frac{1}{3}$ .

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0 (y^{2} - \frac{y}{3} - \frac{1}{3} y - \frac{1}{3} (- \frac{1}{3}))$

Schritt 1.4.1.3

Kombiniere $y$ und $\frac{1}{3}$ .

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0 (y^{2} - \frac{y}{3} - \frac{y}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{1}{3}))$

Schritt 1.4.1.4

Multipliziere $- \frac{1}{3} (- \frac{1}{3})$ .

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Schritt 1.4.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0 (y^{2} - \frac{y}{3} - \frac{y}{3} + 1 (\frac{1}{3}) \frac{1}{3})$

Schritt 1.4.1.4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0 (y^{2} - \frac{y}{3} - \frac{y}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3})$

Schritt 1.4.1.4.3

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0 (y^{2} - \frac{y}{3} - \frac{y}{3} + \frac{1}{3 \cdot 3})$

Schritt 1.4.1.4.4

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0 (y^{2} - \frac{y}{3} - \frac{y}{3} + \frac{1}{9})$

Schritt 1.4.2

Subtrahiere $\frac{y}{3}$ von $- \frac{y}{3}$ .

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0 (y^{2} - 2 \frac{y}{3} + \frac{1}{9})$

Schritt 1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{y}{3}$ .

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0 (y^{2} + \frac{- 2 y}{3} + \frac{1}{9})$

Schritt 1.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0 (y^{2} - \frac{2 y}{3} + \frac{1}{9})$

Schritt 1.6

Mutltipliziere $0$ mit $y^{2} - \frac{2 y}{3} + \frac{1}{9}$ .

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0$

Schritt 2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3

Setze die Werte $a = 3$ , $b = - 2$ und $c = 7$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 7)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot 7$ .

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $7$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 84}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.1.3

Subtrahiere $84$ von $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 80}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.1.4

Schreibe $- 80$ als $- 1 (80)$ um.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 80}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (80)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{80}$ um.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{80}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$y = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{80}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.1.7

Schreibe $80$ als $4^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 4.1.7.1

Faktorisiere $16$ aus $80$ heraus.

$y = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{16 (5)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.1.7.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{2 \pm i \cdot (4 \sqrt{5})}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.1.9

Bringe $4$ auf die linke Seite von $i$ .

$y = \frac{2 \pm 4 i \sqrt{5}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$y = \frac{2 \pm 4 i \sqrt{5}}{6}$

Schritt 4.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 4 i \sqrt{5}}{6}$ .

$y = \frac{1 \pm 2 i \sqrt{5}}{3}$

Schritt 5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = \frac{1 + 2 i \sqrt{5}}{3}, \frac{1 - 2 i \sqrt{5}}{3}$