Grundlegende Mathematik Beispiele

$x^{2} + y^{2} + 4 x - 10 y = 7$

Schritt 1

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + y^{2} + 4 x - 10 y - 7 = 0$

Schritt 2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 10$ und $c = x^{2} + 4 x - 7$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 4 x - 7))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $- 10$ mit $2$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 7)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot (x^{2} + 4 x - 7)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 x^{2} - 4 (4 x) - 4 \cdot - 7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.4

Vereinfache.

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Schritt 4.1.4.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 4$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 x^{2} - 16 x - 4 \cdot - 7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.4.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 7$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 x^{2} - 16 x + 28}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.5

Addiere $100$ und $28$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{- 4 x^{2} - 16 x + 128}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.6

Schreibe $- 4 x^{2} - 16 x + 128$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 x^{2} - 16 x + 128$ heraus.

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Schritt 4.1.6.1.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) - 16 x + 128}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.6.1.2

Faktorisiere $4$ aus $- 16 x$ heraus.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x) + 128}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.6.1.3

Faktorisiere $4$ aus $128$ heraus.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x) + 4 (32)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.6.1.4

Faktorisiere $4$ aus $4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x)$ heraus.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 4 x) + 4 (32)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.6.1.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (- x^{2} - 4 x) + 4 (32)$ heraus.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 4 x + 32)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.6.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.1.6.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot 32 = - 32$ und deren Summe gleich $b = - 4$ ist.

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Schritt 4.1.6.2.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 x$ heraus.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 4 x + 32)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.6.2.1.2

Schreibe $- 4$ um als $4$ plus $- 8$

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + (4 - 8) x + 32)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.6.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 4 x - 8 x + 32)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.6.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.1.6.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 ((- x^{2} + 4 x) - 8 x + 32)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.6.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (x (- x + 4) + 8 (- x + 4))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.6.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x + 4$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 ((- x + 4) (x + 8))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (- x + 4) (x + 8)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.7

Schreibe $4 (- x + 4) (x + 8)$ als $2^{2} ((- x + 2^{2}) (x + 8))$ um.

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Schritt 4.1.7.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} (- x + 4) (x + 8)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} (- x + 2^{2}) (x + 8)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.7.3

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} ((- x + 2^{2}) (x + 8))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{(- x + 2^{2}) (x + 8)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.9

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{(- x + 4) (x + 8)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{(- x + 4) (x + 8)}}{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache $\frac{10 \pm 2 \sqrt{(- x + 4) (x + 8)}}{2}$ .

$y = 5 \pm \sqrt{(- x + 4) (x + 8)}$

Schritt 5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = 5 + \sqrt{(- x + 4) (x + 8)}$

$y = 5 - \sqrt{(- x + 4) (x + 8)}$