Grundlegende Mathematik Beispiele

$3 y - 4 = \sqrt{y^{2} - 3 y + 6}$

Schritt 1

Da die Wurzel auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass sie sich auf der linken Seite der Gleichung befindet.

$\sqrt{y^{2} - 3 y + 6} = 3 y - 4$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{y^{2} - 3 y + 6}}^{2} = {(3 y - 4)}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y^{2} - 3 y + 6}$ als ${(y^{2} - 3 y + 6)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(y^{2} - 3 y + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 y - 4)}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${({(y^{2} - 3 y + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(y^{2} - 3 y + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y^{2} - 3 y + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 y - 4)}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(y^{2} - 3 y + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 y - 4)}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(y^{2} - 3 y + 6)}^{1} = {(3 y - 4)}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache.

$y^{2} - 3 y + 6 = {(3 y - 4)}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${(3 y - 4)}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Schreibe ${(3 y - 4)}^{2}$ als $(3 y - 4) (3 y - 4)$ um.

$y^{2} - 3 y + 6 = (3 y - 4) (3 y - 4)$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $(3 y - 4) (3 y - 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} - 3 y + 6 = 3 y (3 y - 4) - 4 (3 y - 4)$

Schritt 3.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} - 3 y + 6 = 3 y (3 y) + 3 y \cdot - 4 - 4 (3 y - 4)$

Schritt 3.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} - 3 y + 6 = 3 y (3 y) + 3 y \cdot - 4 - 4 (3 y) - 4 \cdot - 4$

Schritt 3.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y^{2} - 3 y + 6 = 3 \cdot 3 y \cdot y + 3 y \cdot - 4 - 4 (3 y) - 4 \cdot - 4$

Schritt 3.3.1.3.1.2

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.3.1.2.1

Bewege $y$ .

$y^{2} - 3 y + 6 = 3 \cdot 3 (y \cdot y) + 3 y \cdot - 4 - 4 (3 y) - 4 \cdot - 4$

Schritt 3.3.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$y^{2} - 3 y + 6 = 3 \cdot 3 y^{2} + 3 y \cdot - 4 - 4 (3 y) - 4 \cdot - 4$

Schritt 3.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$y^{2} - 3 y + 6 = 9 y^{2} + 3 y \cdot - 4 - 4 (3 y) - 4 \cdot - 4$

Schritt 3.3.1.3.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$y^{2} - 3 y + 6 = 9 y^{2} - 12 y - 4 (3 y) - 4 \cdot - 4$

Schritt 3.3.1.3.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$y^{2} - 3 y + 6 = 9 y^{2} - 12 y - 12 y - 4 \cdot - 4$

Schritt 3.3.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$y^{2} - 3 y + 6 = 9 y^{2} - 12 y - 12 y + 16$

Schritt 3.3.1.3.2

Subtrahiere $12 y$ von $- 12 y$ .

$y^{2} - 3 y + 6 = 9 y^{2} - 24 y + 16$

Schritt 4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.1

Bringe alle Terme, die $y$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1.1

Subtrahiere $9 y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} - 3 y + 6 - 9 y^{2} = - 24 y + 16$

Schritt 4.1.2

Addiere $24 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} - 3 y + 6 - 9 y^{2} + 24 y = 16$

Schritt 4.1.3

Subtrahiere $9 y^{2}$ von $y^{2}$ .

$- 8 y^{2} - 3 y + 6 + 24 y = 16$

Schritt 4.1.4

Addiere $- 3 y$ und $24 y$ .

$- 8 y^{2} + 21 y + 6 = 16$

Schritt 4.2

Subtrahiere $16$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 8 y^{2} + 21 y + 6 - 16 = 0$

Schritt 4.3

Subtrahiere $16$ von $6$ .

$- 8 y^{2} + 21 y - 10 = 0$

Schritt 4.4

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.4.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 8 y^{2} + 21 y - 10$ heraus.

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Schritt 4.4.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 8 y^{2}$ heraus.

$- (8 y^{2}) + 21 y - 10 = 0$

Schritt 4.4.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $21 y$ heraus.

$- (8 y^{2}) - (- 21 y) - 10 = 0$

Schritt 4.4.1.3

Schreibe $- 10$ als $- 1 (10)$ um.

$- (8 y^{2}) - (- 21 y) - 1 \cdot 10 = 0$

Schritt 4.4.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (8 y^{2}) - (- 21 y)$ heraus.

$- (8 y^{2} - 21 y) - 1 \cdot 10 = 0$

Schritt 4.4.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (8 y^{2} - 21 y) - 1 (10)$ heraus.

$- (8 y^{2} - 21 y + 10) = 0$

Schritt 4.4.2

Faktorisiere.

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Schritt 4.4.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.4.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 8 \cdot 10 = 80$ und deren Summe gleich $b = - 21$ ist.

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Schritt 4.4.2.1.1.1

Faktorisiere $- 21$ aus $- 21 y$ heraus.

$- (8 y^{2} - 21 y + 10) = 0$

Schritt 4.4.2.1.1.2

Schreibe $- 21$ um als $- 5$ plus $- 16$

$- (8 y^{2} + (- 5 - 16) y + 10) = 0$

Schritt 4.4.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- (8 y^{2} - 5 y - 16 y + 10) = 0$

Schritt 4.4.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.4.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- ((8 y^{2} - 5 y) - 16 y + 10) = 0$

Schritt 4.4.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$- (y (8 y - 5) - 2 (8 y - 5)) = 0$

Schritt 4.4.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $8 y - 5$ .

$- ((8 y - 5) (y - 2)) = 0$

Schritt 4.4.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (8 y - 5) (y - 2) = 0$

Schritt 4.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$8 y - 5 = 0$

$y - 2 = 0$

Schritt 4.6

Setze $8 y - 5$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.6.1

Setze $8 y - 5$ gleich $0$ .

$8 y - 5 = 0$

Schritt 4.6.2

Löse $8 y - 5 = 0$ nach $y$ auf.

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Schritt 4.6.2.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$8 y = 5$

Schritt 4.6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $8 y = 5$ durch $8$ und vereinfache.

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Schritt 4.6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $8 y = 5$ durch $8$ .

$\frac{8 y}{8} = \frac{5}{8}$

Schritt 4.6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 4.6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 y}{8} = \frac{5}{8}$

Schritt 4.6.2.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{5}{8}$

Schritt 4.7

Setze $y - 2$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.7.1

Setze $y - 2$ gleich $0$ .

$y - 2 = 0$

Schritt 4.7.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 2$

Schritt 4.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (8 y - 5) (y - 2) = 0$ wahr machen.

$y = \frac{5}{8}, 2$

Schritt 5

Schließe die Lösungen aus, die $3 y - 4 = \sqrt{y^{2} - 3 y + 6}$ nicht erfüllen.

$y = 2$