Grundlegende Mathematik Beispiele

$4270 = 4000 {(1 + y)}^{10}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $4000 {(1 + y)}^{10} = 4270$ um.

$4000 {(1 + y)}^{10} = 4270$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $4000 {(1 + y)}^{10} = 4270$ durch $4000$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $4000 {(1 + y)}^{10} = 4270$ durch $4000$ .

$\frac{4000 {(1 + y)}^{10}}{4000} = \frac{4270}{4000}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4000$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4000 {(1 + y)}^{10}}{4000} = \frac{4270}{4000}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere ${(1 + y)}^{10}$ durch $1$ .

${(1 + y)}^{10} = \frac{4270}{4000}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4270$ und $4000$ .

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Schritt 2.3.1.1

Faktorisiere $10$ aus $4270$ heraus.

${(1 + y)}^{10} = \frac{10 (427)}{4000}$

Schritt 2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.1.2.1

Faktorisiere $10$ aus $4000$ heraus.

${(1 + y)}^{10} = \frac{10 \cdot 427}{10 \cdot 400}$

Schritt 2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(1 + y)}^{10} = \frac{10 \cdot 427}{10 \cdot 400}$

Schritt 2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

${(1 + y)}^{10} = \frac{427}{400}$

Schritt 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$1 + y = \pm \sqrt[10]{\frac{427}{400}}$

Schritt 4

Vereinfache $\pm \sqrt[10]{\frac{427}{400}}$ .

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Schritt 4.1

Schreibe $\sqrt[10]{\frac{427}{400}}$ als $\frac{\sqrt[10]{427}}{\sqrt[10]{400}}$ um.

$1 + y = \pm \frac{\sqrt[10]{427}}{\sqrt[10]{400}}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.1

Schreibe $400$ als $20^{2}$ um.

$1 + y = \pm \frac{\sqrt[10]{427}}{\sqrt[10]{20^{2}}}$

Schritt 4.2.2

Schreibe $\sqrt[10]{20^{2}}$ als $\sqrt[5]{\sqrt{20^{2}}}$ um.

$1 + y = \pm \frac{\sqrt[10]{427}}{\sqrt[5]{\sqrt{20^{2}}}}$

Schritt 4.2.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$1 + y = \pm \frac{\sqrt[10]{427}}{\sqrt[5]{20}}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[10]{427}}{\sqrt[5]{20}}$ mit $\frac{{\sqrt[5]{20}}^{4}}{{\sqrt[5]{20}}^{4}}$ .

$1 + y = \pm \frac{\sqrt[10]{427}}{\sqrt[5]{20}} \cdot \frac{{\sqrt[5]{20}}^{4}}{{\sqrt[5]{20}}^{4}}$

Schritt 4.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.4.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[10]{427}}{\sqrt[5]{20}}$ mit $\frac{{\sqrt[5]{20}}^{4}}{{\sqrt[5]{20}}^{4}}$ .

$1 + y = \pm \frac{\sqrt[10]{427} {\sqrt[5]{20}}^{4}}{\sqrt[5]{20} {\sqrt[5]{20}}^{4}}$

Schritt 4.4.2

Potenziere $\sqrt[5]{20}$ mit $1$ .

$1 + y = \pm \frac{\sqrt[10]{427} {\sqrt[5]{20}}^{4}}{{\sqrt[5]{20}}^{1} {\sqrt[5]{20}}^{4}}$

Schritt 4.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 + y = \pm \frac{\sqrt[10]{427} {\sqrt[5]{20}}^{4}}{{\sqrt[5]{20}}^{1 + 4}}$

Schritt 4.4.4

Addiere $1$ und $4$ .

$1 + y = \pm \frac{\sqrt[10]{427} {\sqrt[5]{20}}^{4}}{{\sqrt[5]{20}}^{5}}$

Schritt 4.4.5

Schreibe ${\sqrt[5]{20}}^{5}$ als $20$ um.

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Schritt 4.4.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[5]{20}$ als $20^{\frac{1}{5}}$ neu zu schreiben.

$1 + y = \pm \frac{\sqrt[10]{427} {\sqrt[5]{20}}^{4}}{{(20^{\frac{1}{5}})}^{5}}$

Schritt 4.4.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 + y = \pm \frac{\sqrt[10]{427} {\sqrt[5]{20}}^{4}}{20^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

Schritt 4.4.5.3

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $5$ .

$1 + y = \pm \frac{\sqrt[10]{427} {\sqrt[5]{20}}^{4}}{20^{\frac{5}{5}}}$

Schritt 4.4.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 4.4.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 + y = \pm \frac{\sqrt[10]{427} {\sqrt[5]{20}}^{4}}{20^{\frac{5}{5}}}$

Schritt 4.4.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$1 + y = \pm \frac{\sqrt[10]{427} {\sqrt[5]{20}}^{4}}{20^{1}}$

Schritt 4.4.5.5

Berechne den Exponenten.

$1 + y = \pm \frac{\sqrt[10]{427} {\sqrt[5]{20}}^{4}}{20}$

Schritt 4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.1

Schreibe ${\sqrt[5]{20}}^{4}$ als $\sqrt[5]{20^{4}}$ um.

$1 + y = \pm \frac{\sqrt[10]{427} \sqrt[5]{20^{4}}}{20}$

Schritt 4.5.2

Potenziere $20$ mit $4$ .

$1 + y = \pm \frac{\sqrt[10]{427} \sqrt[5]{160000}}{20}$

Schritt 4.5.3

Schreibe $160000$ als $2^{5} \cdot 5000$ um.

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Schritt 4.5.3.1

Faktorisiere $32$ aus $160000$ heraus.

$1 + y = \pm \frac{\sqrt[10]{427} \sqrt[5]{32 (5000)}}{20}$

Schritt 4.5.3.2

Schreibe $32$ als $2^{5}$ um.

$1 + y = \pm \frac{\sqrt[10]{427} \sqrt[5]{2^{5} \cdot 5000}}{20}$

Schritt 4.5.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$1 + y = \pm \frac{\sqrt[10]{427} \cdot 2 \sqrt[5]{5000}}{20}$

Schritt 4.5.5

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 4.5.5.1

Forme den Ausdruck um unter Verwendung des kleinsten gemeinsamen Index von $10$ .

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Schritt 4.5.5.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[5]{5000}$ als $5000^{\frac{1}{5}}$ neu zu schreiben.

$1 + y = \pm \frac{2 (\sqrt[10]{427} \cdot 5000^{\frac{1}{5}})}{20}$

Schritt 4.5.5.1.2

Schreibe $5000^{\frac{1}{5}}$ als $5000^{\frac{2}{10}}$ um.

$1 + y = \pm \frac{2 (\sqrt[10]{427} \cdot 5000^{\frac{2}{10}})}{20}$

Schritt 4.5.5.1.3

Schreibe $5000^{\frac{2}{10}}$ als $\sqrt[10]{5000^{2}}$ um.

$1 + y = \pm \frac{2 (\sqrt[10]{427} \sqrt[10]{5000^{2}})}{20}$

Schritt 4.5.5.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$1 + y = \pm \frac{2 \sqrt[10]{427 \cdot 5000^{2}}}{20}$

Schritt 4.5.5.3

Potenziere $5000$ mit $2$ .

$1 + y = \pm \frac{2 \sqrt[10]{427 \cdot 25000000}}{20}$

Schritt 4.5.5.4

Mutltipliziere $427$ mit $25000000$ .

$1 + y = \pm \frac{2 \sqrt[10]{10675000000}}{20}$

Schritt 4.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $20$ .

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Schritt 4.6.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt[10]{10675000000}$ heraus.

$1 + y = \pm \frac{2 (\sqrt[10]{10675000000})}{20}$

Schritt 4.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $20$ heraus.

$1 + y = \pm \frac{2 \sqrt[10]{10675000000}}{2 \cdot 10}$

Schritt 4.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 + y = \pm \frac{2 \sqrt[10]{10675000000}}{2 \cdot 10}$

Schritt 4.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$1 + y = \pm \frac{\sqrt[10]{10675000000}}{10}$

Schritt 5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$1 + y = \frac{\sqrt[10]{10675000000}}{10}$

Schritt 5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{\sqrt[10]{10675000000}}{10} - 1$

Schritt 5.3

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$1 + y = - \frac{\sqrt[10]{10675000000}}{10}$

Schritt 5.4

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - \frac{\sqrt[10]{10675000000}}{10} - 1$

Schritt 5.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{\sqrt[10]{10675000000}}{10} - 1, - \frac{\sqrt[10]{10675000000}}{10} - 1$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$y = \frac{\sqrt[10]{10675000000}}{10} - 1, - \frac{\sqrt[10]{10675000000}}{10} - 1$

Dezimalform:

$y = 0.00655332 \dots, - 2.00655332 \dots$