Grundlegende Mathematik Beispiele

$z^{4} + z^{3} + z^{2} + 3 z - 6 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Gruppiere die Terme um.

$z^{3} + 3 z + z^{4} + z^{2} - 6 = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere $z$ aus $z^{3} + 3 z$ heraus.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $z$ aus $z^{3}$ heraus.

$z \cdot z^{2} + 3 z + z^{4} + z^{2} - 6 = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $z$ aus $3 z$ heraus.

$z \cdot z^{2} + z \cdot 3 + z^{4} + z^{2} - 6 = 0$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $z$ aus $z \cdot z^{2} + z \cdot 3$ heraus.

$z (z^{2} + 3) + z^{4} + z^{2} - 6 = 0$

Schritt 1.3

Schreibe $z^{4}$ als ${(z^{2})}^{2}$ um.

$z (z^{2} + 3) + {(z^{2})}^{2} + z^{2} - 6 = 0$

Schritt 1.4

Es sei $u = z^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $z^{2}$ .

$z (z^{2} + 3) + u^{2} + u - 6 = 0$

Schritt 1.5

Faktorisiere $u^{2} + u - 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 6$ und deren Summe $1$ ist.

$- 2, 3$

Schritt 1.5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$z (z^{2} + 3) + (u - 2) (u + 3) = 0$

Schritt 1.6

Ersetze alle $u$ durch $z^{2}$ .

$z (z^{2} + 3) + (z^{2} - 2) (z^{2} + 3) = 0$

Schritt 1.7

Faktorisiere $z^{2} + 3$ aus $z (z^{2} + 3) + (z^{2} - 2) (z^{2} + 3)$ heraus.

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Schritt 1.7.1

Faktorisiere $z^{2} + 3$ aus $z (z^{2} + 3)$ heraus.

$(z^{2} + 3) z + (z^{2} - 2) (z^{2} + 3) = 0$

Schritt 1.7.2

Faktorisiere $z^{2} + 3$ aus $(z^{2} - 2) (z^{2} + 3)$ heraus.

$(z^{2} + 3) z + (z^{2} + 3) (z^{2} - 2) = 0$

Schritt 1.7.3

Faktorisiere $z^{2} + 3$ aus $(z^{2} + 3) z + (z^{2} + 3) (z^{2} - 2)$ heraus.

$(z^{2} + 3) (z + z^{2} - 2) = 0$

Schritt 1.8

Es sei $u = z$ . Ersetze $u$ für alle $z$ .

$(z^{2} + 3) (u + u^{2} - 2) = 0$

Schritt 1.9

Faktorisiere $u + u^{2} - 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.9.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 2$ und deren Summe $1$ ist.

$- 1, 2$

Schritt 1.9.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(z^{2} + 3) ((u - 1) (u + 2)) = 0$

Schritt 1.10

Faktorisiere.

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Schritt 1.10.1

Ersetze alle $u$ durch $z$ .

$(z^{2} + 3) ((z - 1) (z + 2)) = 0$

Schritt 1.10.2

Entferne unnötige Klammern.

$(z^{2} + 3) (z - 1) (z + 2) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$z^{2} + 3 = 0$

$z - 1 = 0$

$z + 2 = 0$

Schritt 3

Setze $z^{2} + 3$ gleich $0$ und löse nach $z$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $z^{2} + 3$ gleich $0$ .

$z^{2} + 3 = 0$

Schritt 3.2

Löse $z^{2} + 3 = 0$ nach $z$ auf.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$z^{2} = - 3$

Schritt 3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$z = \pm \sqrt{- 3}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 3}$ .

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Schritt 3.2.3.1

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$z = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Schritt 3.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$z = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Schritt 3.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$z = \pm i \sqrt{3}$

Schritt 3.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$z = i \sqrt{3}$

Schritt 3.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$z = - i \sqrt{3}$

Schritt 3.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$z = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Schritt 4

Setze $z - 1$ gleich $0$ und löse nach $z$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $z - 1$ gleich $0$ .

$z - 1 = 0$

Schritt 4.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$z = 1$

Schritt 5

Setze $z + 2$ gleich $0$ und löse nach $z$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $z + 2$ gleich $0$ .

$z + 2 = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$z = - 2$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(z^{2} + 3) (z - 1) (z + 2) = 0$ wahr machen.

$z = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}, 1, - 2$