Grundlegende Mathematik Beispiele

${(1 + z)}^{5} - {(1 - z)}^{5} = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$1^{5} + 5 \cdot (1^{4} z) + 10 \cdot (1^{3} z^{2}) + 10 \cdot (1^{2} z^{3}) + 5 \cdot (1 z^{4}) + z^{5} - {(1 - z)}^{5} = 0$

Schritt 1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + 5 \cdot (1^{4} z) + 10 \cdot (1^{3} z^{2}) + 10 \cdot (1^{2} z^{3}) + 5 \cdot (1 z^{4}) + z^{5} - {(1 - z)}^{5} = 0$

Schritt 1.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + 5 \cdot (1 z) + 10 \cdot (1^{3} z^{2}) + 10 \cdot (1^{2} z^{3}) + 5 \cdot (1 z^{4}) + z^{5} - {(1 - z)}^{5} = 0$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$1 + 5 z + 10 \cdot (1^{3} z^{2}) + 10 \cdot (1^{2} z^{3}) + 5 \cdot (1 z^{4}) + z^{5} - {(1 - z)}^{5} = 0$

Schritt 1.2.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + 5 z + 10 \cdot (1 z^{2}) + 10 \cdot (1^{2} z^{3}) + 5 \cdot (1 z^{4}) + z^{5} - {(1 - z)}^{5} = 0$

Schritt 1.2.5

Mutltipliziere $10$ mit $1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 \cdot (1^{2} z^{3}) + 5 \cdot (1 z^{4}) + z^{5} - {(1 - z)}^{5} = 0$

Schritt 1.2.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 \cdot (1 z^{3}) + 5 \cdot (1 z^{4}) + z^{5} - {(1 - z)}^{5} = 0$

Schritt 1.2.7

Mutltipliziere $10$ mit $1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 \cdot (1 z^{4}) + z^{5} - {(1 - z)}^{5} = 0$

Schritt 1.2.8

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - {(1 - z)}^{5} = 0$

Schritt 1.3

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1^{5} + 5 \cdot (1^{4} (- z)) + 10 \cdot (1^{3} {(- z)}^{2}) + 10 \cdot (1^{2} {(- z)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Schritt 1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 + 5 \cdot (1^{4} (- z)) + 10 \cdot (1^{3} {(- z)}^{2}) + 10 \cdot (1^{2} {(- z)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Schritt 1.4.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 + 5 \cdot (1 (- z)) + 10 \cdot (1^{3} {(- z)}^{2}) + 10 \cdot (1^{2} {(- z)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Schritt 1.4.3

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 + 5 (- z) + 10 \cdot (1^{3} {(- z)}^{2}) + 10 \cdot (1^{2} {(- z)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Schritt 1.4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 \cdot (1^{3} {(- z)}^{2}) + 10 \cdot (1^{2} {(- z)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Schritt 1.4.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 \cdot (1 {(- z)}^{2}) + 10 \cdot (1^{2} {(- z)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Schritt 1.4.6

Mutltipliziere $10$ mit $1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 {(- z)}^{2} + 10 \cdot (1^{2} {(- z)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Schritt 1.4.7

Wende die Produktregel auf $- z$ an.

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 ({(- 1)}^{2} z^{2}) + 10 \cdot (1^{2} {(- z)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Schritt 1.4.8

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 (1 z^{2}) + 10 \cdot (1^{2} {(- z)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Schritt 1.4.9

Mutltipliziere $z^{2}$ mit $1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} + 10 \cdot (1^{2} {(- z)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Schritt 1.4.10

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} + 10 \cdot (1 {(- z)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Schritt 1.4.11

Mutltipliziere $10$ mit $1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} + 10 {(- z)}^{3} + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Schritt 1.4.12

Wende die Produktregel auf $- z$ an.

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} + 10 ({(- 1)}^{3} z^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Schritt 1.4.13

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} + 10 (- z^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Schritt 1.4.14

Mutltipliziere $- 1$ mit $10$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} - 10 z^{3} + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Schritt 1.4.15

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} - 10 z^{3} + 5 {(- z)}^{4} + {(- z)}^{5}) = 0$

Schritt 1.4.16

Wende die Produktregel auf $- z$ an.

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} - 10 z^{3} + 5 ({(- 1)}^{4} z^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Schritt 1.4.17

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} - 10 z^{3} + 5 (1 z^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Schritt 1.4.18

Mutltipliziere $z^{4}$ mit $1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} - 10 z^{3} + 5 z^{4} + {(- z)}^{5}) = 0$

Schritt 1.4.19

Wende die Produktregel auf $- z$ an.

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} - 10 z^{3} + 5 z^{4} + {(- 1)}^{5} z^{5}) = 0$

Schritt 1.4.20

Potenziere $- 1$ mit $5$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} - 10 z^{3} + 5 z^{4} - z^{5}) = 0$

Schritt 1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - 1 \cdot 1 - (- 5 z) - (10 z^{2}) - (- 10 z^{3}) - (5 z^{4}) + z^{5} = 0$

Schritt 1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - 1 - (- 5 z) - (10 z^{2}) - (- 10 z^{3}) - (5 z^{4}) + z^{5} = 0$

Schritt 1.6.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - 1 + 5 z - (10 z^{2}) - (- 10 z^{3}) - (5 z^{4}) + z^{5} = 0$

Schritt 1.6.3

Mutltipliziere $10$ mit $- 1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - 1 + 5 z - 10 z^{2} - (- 10 z^{3}) - (5 z^{4}) + z^{5} = 0$

Schritt 1.6.4

Mutltipliziere $- 10$ mit $- 1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - 1 + 5 z - 10 z^{2} + 10 z^{3} - (5 z^{4}) + z^{5} = 0$

Schritt 1.6.5

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - 1 + 5 z - 10 z^{2} + 10 z^{3} - 5 z^{4} + z^{5} = 0$

Schritt 1.6.6

Multipliziere $- - z^{5}$ .

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Schritt 1.6.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - 1 + 5 z - 10 z^{2} + 10 z^{3} - 5 z^{4} + 1 z^{5} = 0$

Schritt 1.6.6.2

Mutltipliziere $z^{5}$ mit $1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - 1 + 5 z - 10 z^{2} + 10 z^{3} - 5 z^{4} + z^{5} = 0$

Schritt 1.7

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} + 0 + 5 z - 10 z^{2} + 10 z^{3} - 5 z^{4} + z^{5} = 0$

Schritt 1.8

Addiere $5 z$ und $0$ .

$10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} + 5 z + 5 z - 10 z^{2} + 10 z^{3} - 5 z^{4} + z^{5} = 0$

Schritt 1.9

Subtrahiere $10 z^{2}$ von $10 z^{2}$ .

$10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} + 5 z + 5 z + 0 + 10 z^{3} - 5 z^{4} + z^{5} = 0$

Schritt 1.10

Addiere $10 z^{3}$ und $0$ .

$10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} + 5 z + 5 z + 10 z^{3} - 5 z^{4} + z^{5} = 0$

Schritt 1.11

Addiere $10 z^{3}$ und $10 z^{3}$ .

$20 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} + 5 z + 5 z - 5 z^{4} + z^{5} = 0$

Schritt 1.12

Subtrahiere $5 z^{4}$ von $5 z^{4}$ .

$20 z^{3} + z^{5} + 5 z + 5 z + 0 + z^{5} = 0$

Schritt 1.13

Addiere $20 z^{3}$ und $0$ .

$20 z^{3} + z^{5} + 5 z + 5 z + z^{5} = 0$

Schritt 1.14

Addiere $z^{5}$ und $z^{5}$ .

$20 z^{3} + 2 z^{5} + 5 z + 5 z = 0$

Schritt 1.15

Addiere $5 z$ und $5 z$ .

$20 z^{3} + 2 z^{5} + 10 z = 0$

Schritt 1.16

Stelle die Terme um.

$2 z^{5} + 20 z^{3} + 10 z = 0$

Schritt 1.17

Faktorisiere $2 z$ aus $2 z^{5} + 20 z^{3} + 10 z$ heraus.

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Schritt 1.17.1

Faktorisiere $2 z$ aus $2 z^{5}$ heraus.

$2 z (z^{4}) + 20 z^{3} + 10 z = 0$

Schritt 1.17.2

Faktorisiere $2 z$ aus $20 z^{3}$ heraus.

$2 z (z^{4}) + 2 z (10 z^{2}) + 10 z = 0$

Schritt 1.17.3

Faktorisiere $2 z$ aus $10 z$ heraus.

$2 z (z^{4}) + 2 z (10 z^{2}) + 2 z (5) = 0$

Schritt 1.17.4

Faktorisiere $2 z$ aus $2 z (z^{4}) + 2 z (10 z^{2})$ heraus.

$2 z (z^{4} + 10 z^{2}) + 2 z (5) = 0$

Schritt 1.17.5

Faktorisiere $2 z$ aus $2 z (z^{4} + 10 z^{2}) + 2 z (5)$ heraus.

$2 z (z^{4} + 10 z^{2} + 5) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$z = 0$

$z^{4} + 10 z^{2} + 5 = 0$

Schritt 3

Setze $z$ gleich $0$ .

$z = 0$

Schritt 4

Setze $z^{4} + 10 z^{2} + 5$ gleich $0$ und löse nach $z$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $z^{4} + 10 z^{2} + 5$ gleich $0$ .

$z^{4} + 10 z^{2} + 5 = 0$

Schritt 4.2

Löse $z^{4} + 10 z^{2} + 5 = 0$ nach $z$ auf.

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Schritt 4.2.1

Setze $u = z^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$u^{2} + 10 u + 5 = 0$

$u = z^{2}$

Schritt 4.2.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.2.3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 10$ und $c = 5$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.4

Vereinfache.

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Schritt 4.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.4.1.1

Potenziere $10$ mit $2$ .

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

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Schritt 4.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.4.1.3

Subtrahiere $20$ von $100$ .

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{80}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.4.1.4

Schreibe $80$ als $4^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 4.2.4.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $80$ heraus.

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{16 (5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.4.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$u = \frac{- 10 \pm 4 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$u = \frac{- 10 \pm 4 \sqrt{5}}{2}$

Schritt 4.2.4.3

Vereinfache $\frac{- 10 \pm 4 \sqrt{5}}{2}$ .

$u = - 5 \pm 2 \sqrt{5}$

Schritt 4.2.5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = - 5 + 2 \sqrt{5}, - 5 - 2 \sqrt{5}$

Schritt 4.2.6

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = z^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$z^{2} = - 0.52786404$

${(z^{2})}^{1} = - 9.47213595$

Schritt 4.2.7

Löse die erste Gleichung nach $z$ auf.

$z^{2} = - 0.52786404$

Schritt 4.2.8

Löse die Gleichung nach $z$ auf.

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Schritt 4.2.8.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$z = \pm \sqrt{- 0.52786404}$

Schritt 4.2.8.2

Vereinfache $\pm \sqrt{- 0.52786404}$ .

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Schritt 4.2.8.2.1

Schreibe $- 0.52786404$ als $- 1 (0.52786404)$ um.

$z = \pm \sqrt{- 1 (0.52786404)}$

Schritt 4.2.8.2.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (0.52786404)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{0.52786404}$ um.

$z = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{0.52786404}$

Schritt 4.2.8.2.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$z = \pm i \sqrt{0.52786404}$

Schritt 4.2.8.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.2.8.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$z = i \sqrt{0.52786404}$

Schritt 4.2.8.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$z = - i \sqrt{0.52786404}$

Schritt 4.2.8.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$z = i \sqrt{0.52786404}, - i \sqrt{0.52786404}$

Schritt 4.2.9

Löse die zweite Gleichung nach $z$ auf.

${(z^{2})}^{1} = - 9.47213595$

Schritt 4.2.10

Löse die Gleichung nach $z$ auf.

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Schritt 4.2.10.1

Entferne die Klammern.

$z^{2} = - 9.47213595$

Schritt 4.2.10.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$z = \pm \sqrt{- 9.47213595}$

Schritt 4.2.10.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 9.47213595}$ .

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Schritt 4.2.10.3.1

Schreibe $- 9.47213595$ als $- 1 (9.47213595)$ um.

$z = \pm \sqrt{- 1 (9.47213595)}$

Schritt 4.2.10.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (9.47213595)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9.47213595}$ um.

$z = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9.47213595}$

Schritt 4.2.10.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$z = \pm i \sqrt{9.47213595}$

Schritt 4.2.10.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.2.10.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$z = i \sqrt{9.47213595}$

Schritt 4.2.10.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$z = - i \sqrt{9.47213595}$

Schritt 4.2.10.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$z = i \sqrt{9.47213595}, - i \sqrt{9.47213595}$

Schritt 4.2.11

Die Lösung von $z^{4} + 10 z^{2} + 5 = 0$ ist $z = i \sqrt{0.52786404}, - i \sqrt{0.52786404}, i \sqrt{9.47213595}, - i \sqrt{9.47213595}$ .

$z = i \sqrt{0.52786404}, - i \sqrt{0.52786404}, i \sqrt{9.47213595}, - i \sqrt{9.47213595}$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 z (z^{4} + 10 z^{2} + 5) = 0$ wahr machen.

$z = 0, i \sqrt{0.52786404}, - i \sqrt{0.52786404}, i \sqrt{9.47213595}, - i \sqrt{9.47213595}$