Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{z}{3} + \frac{3}{z} = \frac{z}{12} + \frac{12}{z}$

Schritt 1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$3, z, 12, z$

Schritt 1.2

Since $3, z, 12, z$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $3, 1, 12, 1$ then find LCM for the variable part $z^{1}, z^{1}$ .

Schritt 1.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 1.4

Da $3$ keine Teiler außer $1$ und $3$ hat.

$3$ ist eine Primzahl

Schritt 1.5

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 1.6

Die Primfaktoren von $12$ sind $2 \cdot 2 \cdot 3$ .

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Schritt 1.6.1

$12$ hat Faktoren von $2$ und $6$ .

$2 \cdot 6$

Schritt 1.6.2

$6$ hat Faktoren von $2$ und $3$ .

$2 \cdot 2 \cdot 3$

Schritt 1.7

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 1.8

Das kgV von $3, 1, 12, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$2 \cdot 2 \cdot 3$

Schritt 1.9

Multipliziere $2 \cdot 2 \cdot 3$ .

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Schritt 1.9.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 \cdot 3$

Schritt 1.9.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$12$

Schritt 1.10

Der Teiler von $z^{1}$ ist $z$ selbst.

$z^{1} = z$

$z$ occurs $1$ time.

Schritt 1.11

Das kgV von $z^{1}, z^{1}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$z$

Schritt 1.12

Das kgV von $3, z, 12, z$ ist der numerische Teil $12$ multipliziert mit dem variablen Teil.

$12 z$

Schritt 2

Multipliziere jeden Term in $\frac{z}{3} + \frac{3}{z} = \frac{z}{12} + \frac{12}{z}$ mit $12 z$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{z}{3} + \frac{3}{z} = \frac{z}{12} + \frac{12}{z}$ mit $12 z$ .

$\frac{z}{3} (12 z) + \frac{3}{z} (12 z) = \frac{z}{12} (12 z) + \frac{12}{z} (12 z)$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$12 \frac{z}{3} z + \frac{3}{z} (12 z) = \frac{z}{12} (12 z) + \frac{12}{z} (12 z)$

Schritt 2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$3 (4) \frac{z}{3} z + \frac{3}{z} (12 z) = \frac{z}{12} (12 z) + \frac{12}{z} (12 z)$

Schritt 2.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \cdot 4 \frac{z}{3} z + \frac{3}{z} (12 z) = \frac{z}{12} (12 z) + \frac{12}{z} (12 z)$

Schritt 2.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$4 z \cdot z + \frac{3}{z} (12 z) = \frac{z}{12} (12 z) + \frac{12}{z} (12 z)$

Schritt 2.2.1.3

Multipliziere $z$ mit $z$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.1.3.1

Bewege $z$ .

$4 (z \cdot z) + \frac{3}{z} (12 z) = \frac{z}{12} (12 z) + \frac{12}{z} (12 z)$

Schritt 2.2.1.3.2

Mutltipliziere $z$ mit $z$ .

$4 z^{2} + \frac{3}{z} (12 z) = \frac{z}{12} (12 z) + \frac{12}{z} (12 z)$

Schritt 2.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 z^{2} + 12 \frac{3}{z} z = \frac{z}{12} (12 z) + \frac{12}{z} (12 z)$

Schritt 2.2.1.5

Multipliziere $12 \frac{3}{z}$ .

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Schritt 2.2.1.5.1

Kombiniere $12$ und $\frac{3}{z}$ .

$4 z^{2} + \frac{12 \cdot 3}{z} z = \frac{z}{12} (12 z) + \frac{12}{z} (12 z)$

Schritt 2.2.1.5.2

Mutltipliziere $12$ mit $3$ .

$4 z^{2} + \frac{36}{z} z = \frac{z}{12} (12 z) + \frac{12}{z} (12 z)$

Schritt 2.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $z$ .

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Schritt 2.2.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 z^{2} + \frac{36}{z} z = \frac{z}{12} (12 z) + \frac{12}{z} (12 z)$

Schritt 2.2.1.6.2

Forme den Ausdruck um.

$4 z^{2} + 36 = \frac{z}{12} (12 z) + \frac{12}{z} (12 z)$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 z^{2} + 36 = 12 \frac{z}{12} z + \frac{12}{z} (12 z)$

Schritt 2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 2.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 z^{2} + 36 = 12 \frac{z}{12} z + \frac{12}{z} (12 z)$

Schritt 2.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4 z^{2} + 36 = z \cdot z + \frac{12}{z} (12 z)$

Schritt 2.3.1.3

Mutltipliziere $z$ mit $z$ .

$4 z^{2} + 36 = z^{2} + \frac{12}{z} (12 z)$

Schritt 2.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 z^{2} + 36 = z^{2} + 12 \frac{12}{z} z$

Schritt 2.3.1.5

Multipliziere $12 \frac{12}{z}$ .

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Schritt 2.3.1.5.1

Kombiniere $12$ und $\frac{12}{z}$ .

$4 z^{2} + 36 = z^{2} + \frac{12 \cdot 12}{z} z$

Schritt 2.3.1.5.2

Mutltipliziere $12$ mit $12$ .

$4 z^{2} + 36 = z^{2} + \frac{144}{z} z$

Schritt 2.3.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $z$ .

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Schritt 2.3.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 z^{2} + 36 = z^{2} + \frac{144}{z} z$

Schritt 2.3.1.6.2

Forme den Ausdruck um.

$4 z^{2} + 36 = z^{2} + 144$

Schritt 3

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die $z$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $z^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 z^{2} + 36 - z^{2} = 144$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $z^{2}$ von $4 z^{2}$ .

$3 z^{2} + 36 = 144$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme, die nicht $z$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $36$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 z^{2} = 144 - 36$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $36$ von $144$ .

$3 z^{2} = 108$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $3 z^{2} = 108$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 z^{2} = 108$ durch $3$ .

$\frac{3 z^{2}}{3} = \frac{108}{3}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 z^{2}}{3} = \frac{108}{3}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $z^{2}$ durch $1$ .

$z^{2} = \frac{108}{3}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Dividiere $108$ durch $3$ .

$z^{2} = 36$

Schritt 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$z = \pm \sqrt{36}$

Schritt 3.5

Vereinfache $\pm \sqrt{36}$ .

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Schritt 3.5.1

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$z = \pm \sqrt{6^{2}}$

Schritt 3.5.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$z = \pm 6$

Schritt 3.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$z = 6$

Schritt 3.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$z = - 6$

Schritt 3.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$z = 6, - 6$