Grundlegende Mathematik Beispiele

$\sqrt{4 z + 1} = 3 + \sqrt{4 z - 2}$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{4 z + 1}}^{2} = {(3 + \sqrt{4 z - 2})}^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{4 z + 1}$ als ${(4 z + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(4 z + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 + \sqrt{4 z - 2})}^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${({(4 z + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(4 z + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 z + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 + \sqrt{4 z - 2})}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(4 z + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 + \sqrt{4 z - 2})}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(4 z + 1)}^{1} = {(3 + \sqrt{4 z - 2})}^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

$4 z + 1 = {(3 + \sqrt{4 z - 2})}^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache ${(3 + \sqrt{4 z - 2})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4 z - 2$ heraus.

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Schritt 2.3.1.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4 z$ heraus.

$4 z + 1 = {(3 + \sqrt{2 (2 z) - 2})}^{2}$

Schritt 2.3.1.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$4 z + 1 = {(3 + \sqrt{2 (2 z) + 2 (- 1)})}^{2}$

Schritt 2.3.1.1.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 z) + 2 (- 1)$ heraus.

$4 z + 1 = {(3 + \sqrt{2 (2 z - 1)})}^{2}$

Schritt 2.3.1.1.2

Schreibe ${(3 + \sqrt{2 (2 z - 1)})}^{2}$ als $(3 + \sqrt{2 (2 z - 1)}) (3 + \sqrt{2 (2 z - 1)})$ um.

$4 z + 1 = (3 + \sqrt{2 (2 z - 1)}) (3 + \sqrt{2 (2 z - 1)})$

Schritt 2.3.1.2

Multipliziere $(3 + \sqrt{2 (2 z - 1)}) (3 + \sqrt{2 (2 z - 1)})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 z + 1 = 3 (3 + \sqrt{2 (2 z - 1)}) + \sqrt{2 (2 z - 1)} (3 + \sqrt{2 (2 z - 1)})$

Schritt 2.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 z + 1 = 3 \cdot 3 + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + \sqrt{2 (2 z - 1)} (3 + \sqrt{2 (2 z - 1)})$

Schritt 2.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 z + 1 = 3 \cdot 3 + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + \sqrt{2 (2 z - 1)} \cdot 3 + \sqrt{2 (2 z - 1)} \sqrt{2 (2 z - 1)}$

Schritt 2.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$4 z + 1 = 9 + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + \sqrt{2 (2 z - 1)} \cdot 3 + \sqrt{2 (2 z - 1)} \sqrt{2 (2 z - 1)}$

Schritt 2.3.1.3.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\sqrt{2 (2 z - 1)}$ .

$4 z + 1 = 9 + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + 3 \cdot \sqrt{2 (2 z - 1)} + \sqrt{2 (2 z - 1)} \sqrt{2 (2 z - 1)}$

Schritt 2.3.1.3.1.3

Multipliziere $\sqrt{2 (2 z - 1)} \sqrt{2 (2 z - 1)}$ .

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Schritt 2.3.1.3.1.3.1

Potenziere $\sqrt{2 (2 z - 1)}$ mit $1$ .

$4 z + 1 = 9 + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + {\sqrt{2 (2 z - 1)}}^{1} \sqrt{2 (2 z - 1)}$

Schritt 2.3.1.3.1.3.2

Potenziere $\sqrt{2 (2 z - 1)}$ mit $1$ .

$4 z + 1 = 9 + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + {\sqrt{2 (2 z - 1)}}^{1} {\sqrt{2 (2 z - 1)}}^{1}$

Schritt 2.3.1.3.1.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 z + 1 = 9 + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + {\sqrt{2 (2 z - 1)}}^{1 + 1}$

Schritt 2.3.1.3.1.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$4 z + 1 = 9 + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + {\sqrt{2 (2 z - 1)}}^{2}$

Schritt 2.3.1.3.1.4

Schreibe ${\sqrt{2 (2 z - 1)}}^{2}$ als $2 (2 z - 1)$ um.

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Schritt 2.3.1.3.1.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 (2 z - 1)}$ als ${(2 (2 z - 1))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$4 z + 1 = 9 + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + {({(2 (2 z - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 2.3.1.3.1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 z + 1 = 9 + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + {(2 (2 z - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 2.3.1.3.1.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$4 z + 1 = 9 + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + {(2 (2 z - 1))}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.3.1.3.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.1.3.1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 z + 1 = 9 + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + {(2 (2 z - 1))}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.3.1.3.1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$4 z + 1 = 9 + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + {(2 (2 z - 1))}^{1}$

Schritt 2.3.1.3.1.4.5

Vereinfache.

$4 z + 1 = 9 + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + 2 (2 z - 1)$

Schritt 2.3.1.3.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$4 z + 1 = 9 + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + 2 (2 z) + 2 \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.3.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 z + 1 = 9 + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + 4 z + 2 \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.3.1.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$4 z + 1 = 9 + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + 4 z - 2$

Schritt 2.3.1.3.2

Subtrahiere $2$ von $9$ .

$4 z + 1 = 7 + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + 4 z$

Schritt 2.3.1.3.3

Addiere $3 \sqrt{2 (2 z - 1)}$ und $3 \sqrt{2 (2 z - 1)}$ .

$4 z + 1 = 7 + 6 \sqrt{2 (2 z - 1)} + 4 z$

Schritt 3

Löse nach $6 \sqrt{2 (2 z - 1)}$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $7 + 6 \sqrt{2 (2 z - 1)} + 4 z = 4 z + 1$ um.

$7 + 6 \sqrt{2 (2 z - 1)} + 4 z = 4 z + 1$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme, die nicht $6 \sqrt{2 (2 z - 1)}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 \sqrt{2 (2 z - 1)} + 4 z = 4 z + 1 - 7$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $4 z$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 \sqrt{2 (2 z - 1)} = 4 z + 1 - 7 - 4 z$

Schritt 3.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $4 z + 1 - 7 - 4 z$ .

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Schritt 3.2.3.1

Subtrahiere $4 z$ von $4 z$ .

$6 \sqrt{2 (2 z - 1)} = 0 + 1 - 7$

Schritt 3.2.3.2

Addiere $0$ und $1$ .

$6 \sqrt{2 (2 z - 1)} = 1 - 7$

Schritt 3.2.4

Subtrahiere $7$ von $1$ .

$6 \sqrt{2 (2 z - 1)} = - 6$

Schritt 4

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(6 \sqrt{2 (2 z - 1)})}^{2} = {(- 6)}^{2}$

Schritt 5

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 (2 z - 1)}$ als ${(2 (2 z - 1))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(6 {(2 (2 z - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 6)}^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache ${(6 {(2 (2 z - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

${(6 {(2 (2 z) + 2 \cdot - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 6)}^{2}$

Schritt 5.2.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.1.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

${(6 {(4 z + 2 \cdot - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 6)}^{2}$

Schritt 5.2.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

${(6 {(4 z - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 6)}^{2}$

Schritt 5.2.1.2.3

Wende die Produktregel auf $6 {(4 z - 2)}^{\frac{1}{2}}$ an.

$6^{2} {({(4 z - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 6)}^{2}$

Schritt 5.2.1.2.4

Potenziere $6$ mit $2$ .

$36 {({(4 z - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 6)}^{2}$

Schritt 5.2.1.2.5

Multipliziere die Exponenten in ${({(4 z - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.2.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$36 {(4 z - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 6)}^{2}$

Schritt 5.2.1.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$36 {(4 z - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 6)}^{2}$

Schritt 5.2.1.2.5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$36 {(4 z - 2)}^{1} = {(- 6)}^{2}$

Schritt 5.2.1.3

Vereinfache.

$36 (4 z - 2) = {(- 6)}^{2}$

Schritt 5.2.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$36 (4 z) + 36 \cdot - 2 = {(- 6)}^{2}$

Schritt 5.2.1.5

Multipliziere.

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Schritt 5.2.1.5.1

Mutltipliziere $4$ mit $36$ .

$144 z + 36 \cdot - 2 = {(- 6)}^{2}$

Schritt 5.2.1.5.2

Mutltipliziere $36$ mit $- 2$ .

$144 z - 72 = {(- 6)}^{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$144 z - 72 = 36$

Schritt 6

Löse nach $z$ auf.

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Schritt 6.1

Bringe alle Terme, die nicht $z$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1.1

Addiere $72$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$144 z = 36 + 72$

Schritt 6.1.2

Addiere $36$ und $72$ .

$144 z = 108$

Schritt 6.2

Teile jeden Ausdruck in $144 z = 108$ durch $144$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Teile jeden Ausdruck in $144 z = 108$ durch $144$ .

$\frac{144 z}{144} = \frac{108}{144}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $144$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{144 z}{144} = \frac{108}{144}$

Schritt 6.2.2.1.2

Dividiere $z$ durch $1$ .

$z = \frac{108}{144}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $108$ und $144$ .

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Schritt 6.2.3.1.1

Faktorisiere $36$ aus $108$ heraus.

$z = \frac{36 (3)}{144}$

Schritt 6.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.3.1.2.1

Faktorisiere $36$ aus $144$ heraus.

$z = \frac{36 \cdot 3}{36 \cdot 4}$

Schritt 6.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$z = \frac{36 \cdot 3}{36 \cdot 4}$

Schritt 6.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$z = \frac{3}{4}$

Schritt 7

Schließe die Lösungen aus, die $\sqrt{4 z + 1} = 3 + \sqrt{4 z - 2}$ nicht erfüllen.

$Keine Lösung$