Grundlegende Mathematik Beispiele

$2 z + 3 z^{\frac{1}{2}} - 2 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Schreibe $z$ als ${(z^{\frac{1}{2}})}^{2}$ um.

$2 {(z^{\frac{1}{2}})}^{2} + 3 z^{\frac{1}{2}} - 2 = 0$

Schritt 1.2

Es sei $u = z^{\frac{1}{2}}$ . Ersetze $u$ für alle $z^{\frac{1}{2}}$ .

$2 u^{2} + 3 u - 2 = 0$

Schritt 1.3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ und deren Summe gleich $b = 3$ ist.

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Schritt 1.3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 u$ heraus.

$2 u^{2} + 3 (u) - 2 = 0$

Schritt 1.3.1.2

Schreibe $3$ um als $- 1$ plus $4$

$2 u^{2} + (- 1 + 4) u - 2 = 0$

Schritt 1.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 u^{2} - 1 u + 4 u - 2 = 0$

Schritt 1.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(2 u^{2} - 1 u) + 4 u - 2 = 0$

Schritt 1.3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$u (2 u - 1) + 2 (2 u - 1) = 0$

Schritt 1.3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 u - 1$ .

$(2 u - 1) (u + 2) = 0$

Schritt 1.4

Ersetze alle $u$ durch $z^{\frac{1}{2}}$ .

$(2 z^{\frac{1}{2}} - 1) (z^{\frac{1}{2}} + 2) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 z^{\frac{1}{2}} - 1 = 0$

$z^{\frac{1}{2}} + 2 = 0$

Schritt 3

Setze $2 z^{\frac{1}{2}} - 1$ gleich $0$ und löse nach $z$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $2 z^{\frac{1}{2}} - 1$ gleich $0$ .

$2 z^{\frac{1}{2}} - 1 = 0$

Schritt 3.2

Löse $2 z^{\frac{1}{2}} - 1 = 0$ nach $z$ auf.

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Schritt 3.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 z^{\frac{1}{2}} = 1$

Schritt 3.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $2$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(2 z^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 3.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.3.1.1

Vereinfache ${(2 z^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.3.1.1.1

Wende die Produktregel auf $2 z^{\frac{1}{2}}$ an.

$2^{2} {(z^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Schritt 3.2.3.1.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 {(z^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Schritt 3.2.3.1.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(z^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.3.1.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 z^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Schritt 3.2.3.1.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.3.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 z^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Schritt 3.2.3.1.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4 z^{1} = 1^{2}$

Schritt 3.2.3.1.1.4

Vereinfache.

$4 z = 1^{2}$

Schritt 3.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$4 z = 1$

Schritt 3.2.4

Teile jeden Ausdruck in $4 z = 1$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $4 z = 1$ durch $4$ .

$\frac{4 z}{4} = \frac{1}{4}$

Schritt 3.2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 z}{4} = \frac{1}{4}$

Schritt 3.2.4.2.1.2

Dividiere $z$ durch $1$ .

$z = \frac{1}{4}$

Schritt 4

Setze $z^{\frac{1}{2}} + 2$ gleich $0$ und löse nach $z$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $z^{\frac{1}{2}} + 2$ gleich $0$ .

$z^{\frac{1}{2}} + 2 = 0$

Schritt 4.2

Löse $z^{\frac{1}{2}} + 2 = 0$ nach $z$ auf.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$z^{\frac{1}{2}} = - 2$

Schritt 4.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $2$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(z^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 4.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.3.1.1

Vereinfache ${(z^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.3.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(z^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.3.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$z^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2)}^{2}$

Schritt 4.2.3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.3.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$z^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2)}^{2}$

Schritt 4.2.3.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$z^{1} = {(- 2)}^{2}$

Schritt 4.2.3.1.1.2

Vereinfache.

$z = {(- 2)}^{2}$

Schritt 4.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.2.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$z = 4$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 z^{\frac{1}{2}} - 1) (z^{\frac{1}{2}} + 2) = 0$ wahr machen.

$z = \frac{1}{4}, 4$

Schritt 6

Schließe die Lösungen aus, die $2 z + 3 z^{\frac{1}{2}} - 2 = 0$ nicht erfüllen.

$z = \frac{1}{4}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$z = \frac{1}{4}$

Dezimalform:

$z = 0.25$