Grundlegende Mathematik Beispiele

$4 z^{4} - 5 z^{2} + 9 = 0$

Schritt 1

Setze $u = z^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$4 u^{2} - 5 u + 9 = 0$

$u = z^{2}$

Schritt 2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3

Setze die Werte $a = 4$ , $b = - 5$ und $c = 9$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 9)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 4 \cdot 9}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot 9$ .

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16 \cdot 9}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $9$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 144}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.1.3

Subtrahiere $144$ von $25$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 119}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.1.4

Schreibe $- 119$ als $- 1 (119)$ um.

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 119}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (119)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{119}$ um.

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{119}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$u = \frac{5 \pm i \sqrt{119}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$u = \frac{5 \pm i \sqrt{119}}{8}$

Schritt 5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = \frac{5 + i \sqrt{119}}{8}, \frac{5 - i \sqrt{119}}{8}$

Schritt 6

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = z^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$z^{2} = \frac{5 + i \sqrt{119}}{8}$

${(z^{2})}^{1} = \frac{5 - i \sqrt{119}}{8}$

Schritt 7

Löse die erste Gleichung nach $z$ auf.

$z^{2} = \frac{5 + i \sqrt{119}}{8}$

Schritt 8

Löse die Gleichung nach $z$ auf.

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Schritt 8.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$z = \pm \sqrt{\frac{5 + i \sqrt{119}}{8}}$

Schritt 8.2

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{5 + i \sqrt{119}}{8}}$ .

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Schritt 8.2.1

Schreibe $\sqrt{\frac{5 + i \sqrt{119}}{8}}$ als $\frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}}}{\sqrt{8}}$ um.

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}}}{\sqrt{8}}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.2.1

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 8.2.2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}}}{\sqrt{4 (2)}}$

Schritt 8.2.2.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}}}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Schritt 8.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}}}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 8.2.3

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}}}{2 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 8.2.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}}}{2 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 8.2.4.2

Bewege $\sqrt{2}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Schritt 8.2.4.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Schritt 8.2.4.4

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Schritt 8.2.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 8.2.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 8.2.4.7

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 8.2.4.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 8.2.4.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 8.2.4.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.2.4.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.4.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.2.4.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}$

Schritt 8.2.4.7.5

Berechne den Exponenten.

$z = \pm \frac{\sqrt{5 + i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 8.2.5

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$z = \pm \frac{\sqrt{(5 + i \sqrt{119}) \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 8.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{(5 + i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}$

Schritt 8.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 8.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$z = \frac{\sqrt{(5 + i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}$

Schritt 8.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$z = - \frac{\sqrt{(5 + i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}$

Schritt 8.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$z = \frac{\sqrt{(5 + i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}, - \frac{\sqrt{(5 + i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}$

Schritt 9

Löse die zweite Gleichung nach $z$ auf.

${(z^{2})}^{1} = \frac{5 - i \sqrt{119}}{8}$

Schritt 10

Löse die Gleichung nach $z$ auf.

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Schritt 10.1

Entferne die Klammern.

$z^{2} = \frac{5 - i \sqrt{119}}{8}$

Schritt 10.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$z = \pm \sqrt{\frac{5 - i \sqrt{119}}{8}}$

Schritt 10.3

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{5 - i \sqrt{119}}{8}}$ .

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Schritt 10.3.1

Schreibe $\sqrt{\frac{5 - i \sqrt{119}}{8}}$ als $\frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}}}{\sqrt{8}}$ um.

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}}}{\sqrt{8}}$

Schritt 10.3.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.3.2.1

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 10.3.2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}}}{\sqrt{4 (2)}}$

Schritt 10.3.2.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}}}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Schritt 10.3.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}}}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 10.3.3

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}}}{2 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 10.3.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.3.4.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}}}{2 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 10.3.4.2

Bewege $\sqrt{2}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Schritt 10.3.4.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Schritt 10.3.4.4

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Schritt 10.3.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 10.3.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 10.3.4.7

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 10.3.4.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 10.3.4.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 10.3.4.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 10.3.4.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.3.4.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 10.3.4.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}$

Schritt 10.3.4.7.5

Berechne den Exponenten.

$z = \pm \frac{\sqrt{5 - i \sqrt{119}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 10.3.5

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$z = \pm \frac{\sqrt{(5 - i \sqrt{119}) \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 10.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{(5 - i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}$

Schritt 10.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 10.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$z = \frac{\sqrt{(5 - i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}$

Schritt 10.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$z = - \frac{\sqrt{(5 - i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}$

Schritt 10.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$z = \frac{\sqrt{(5 - i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}, - \frac{\sqrt{(5 - i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}$

Schritt 11

Die Lösung von $4 z^{4} - 5 z^{2} + 9 = 0$ ist $z = \frac{\sqrt{(5 + i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}, - \frac{\sqrt{(5 + i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}, \frac{\sqrt{(5 - i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}, - \frac{\sqrt{(5 - i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}$ .

$z = \frac{\sqrt{(5 + i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}, - \frac{\sqrt{(5 + i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}, \frac{\sqrt{(5 - i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}, - \frac{\sqrt{(5 - i \sqrt{119}) \cdot 2}}{4}$