Grundlegende Mathematik Beispiele

$5 z^{4} + 16 z^{2} - 45 = 0$

Schritt 1

Setze $u = z^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$5 u^{2} + 16 u - 45 = 0$

$u = z^{2}$

Schritt 2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 5 \cdot - 45 = - 225$ und deren Summe gleich $b = 16$ ist.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $16$ aus $16 u$ heraus.

$5 u^{2} + 16 (u) - 45 = 0$

Schritt 2.1.2

Schreibe $16$ um als $- 9$ plus $25$

$5 u^{2} + (- 9 + 25) u - 45 = 0$

Schritt 2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$5 u^{2} - 9 u + 25 u - 45 = 0$

Schritt 2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(5 u^{2} - 9 u) + 25 u - 45 = 0$

Schritt 2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$u (5 u - 9) + 5 (5 u - 9) = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $5 u - 9$ .

$(5 u - 9) (u + 5) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$5 u - 9 = 0$

$u + 5 = 0$

Schritt 4

Setze $5 u - 9$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $5 u - 9$ gleich $0$ .

$5 u - 9 = 0$

Schritt 4.2

Löse $5 u - 9 = 0$ nach $u$ auf.

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Schritt 4.2.1

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 u = 9$

Schritt 4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $5 u = 9$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 u = 9$ durch $5$ .

$\frac{5 u}{5} = \frac{9}{5}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 u}{5} = \frac{9}{5}$

Schritt 4.2.2.2.1.2

Dividiere $u$ durch $1$ .

$u = \frac{9}{5}$

Schritt 5

Setze $u + 5$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $u + 5$ gleich $0$ .

$u + 5 = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u = - 5$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(5 u - 9) (u + 5) = 0$ wahr machen.

$u = \frac{9}{5}, - 5$

Schritt 7

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = z^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$z^{2} = \frac{9}{5}$

${(z^{2})}^{1} = - 5$

Schritt 8

Löse die erste Gleichung nach $z$ auf.

$z^{2} = \frac{9}{5}$

Schritt 9

Löse die Gleichung nach $z$ auf.

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Schritt 9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$z = \pm \sqrt{\frac{9}{5}}$

Schritt 9.2

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{9}{5}}$ .

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Schritt 9.2.1

Schreibe $\sqrt{\frac{9}{5}}$ als $\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{5}}$ um.

$z = \pm \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{5}}$

Schritt 9.2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.2.2.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$z = \pm \frac{\sqrt{3^{2}}}{\sqrt{5}}$

Schritt 9.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$z = \pm \frac{3}{\sqrt{5}}$

Schritt 9.2.3

Mutltipliziere $\frac{3}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$z = \pm \frac{3}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Schritt 9.2.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{3}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 9.2.4.2

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Schritt 9.2.4.3

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Schritt 9.2.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Schritt 9.2.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 9.2.4.6

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 9.2.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 9.2.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 9.2.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.2.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.2.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.2.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{5^{1}}$

Schritt 9.2.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 9.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 9.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$z = \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 9.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$z = - \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 9.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$z = \frac{3 \sqrt{5}}{5}, - \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 10

Löse die zweite Gleichung nach $z$ auf.

${(z^{2})}^{1} = - 5$

Schritt 11

Löse die Gleichung nach $z$ auf.

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Schritt 11.1

Entferne die Klammern.

$z^{2} = - 5$

Schritt 11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$z = \pm \sqrt{- 5}$

Schritt 11.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 5}$ .

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Schritt 11.3.1

Schreibe $- 5$ als $- 1 (5)$ um.

$z = \pm \sqrt{- 1 (5)}$

Schritt 11.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (5)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$ um.

$z = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$

Schritt 11.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$z = \pm i \sqrt{5}$

Schritt 11.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 11.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$z = i \sqrt{5}$

Schritt 11.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$z = - i \sqrt{5}$

Schritt 11.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$z = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$

Schritt 12

Die Lösung von $5 z^{4} + 16 z^{2} - 45 = 0$ ist $z = \frac{3 \sqrt{5}}{5}, - \frac{3 \sqrt{5}}{5}, i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$ .

$z = \frac{3 \sqrt{5}}{5}, - \frac{3 \sqrt{5}}{5}, i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$