Grundlegende Mathematik Beispiele

$z = \frac{1}{z^{2}}$

Schritt 1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, z^{2}$

Schritt 1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$z^{2}$

Schritt 2

Multipliziere jeden Term in $z = \frac{1}{z^{2}}$ mit $z^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Term in $z = \frac{1}{z^{2}}$ mit $z^{2}$ .

$z \cdot z^{2} = \frac{1}{z^{2}} z^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Multipliziere $z$ mit $z^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere $z$ mit $z^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Potenziere $z$ mit $1$ .

$z^{1} z^{2} = \frac{1}{z^{2}} z^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$z^{1 + 2} = \frac{1}{z^{2}} z^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$z^{3} = \frac{1}{z^{2}} z^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $z^{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$z^{3} = \frac{1}{z^{2}} z^{2}$

Schritt 2.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$z^{3} = 1$

Schritt 3

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$z^{3} - 1 = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$z^{3} - 1^{3} = 0$

Schritt 3.2.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = z$ und $b = 1$ .

$(z - 1) (z^{2} + z \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Schritt 3.2.3

Vereinfache.

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Schritt 3.2.3.1

Mutltipliziere $z$ mit $1$ .

$(z - 1) (z^{2} + z + 1^{2}) = 0$

Schritt 3.2.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$(z - 1) (z^{2} + z + 1) = 0$

Schritt 3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$z - 1 = 0$

$z^{2} + z + 1 = 0$

Schritt 3.4

Setze $z - 1$ gleich $0$ und löse nach $z$ auf.

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Schritt 3.4.1

Setze $z - 1$ gleich $0$ .

$z - 1 = 0$

Schritt 3.4.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$z = 1$

Schritt 3.5

Setze $z^{2} + z + 1$ gleich $0$ und löse nach $z$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $z^{2} + z + 1$ gleich $0$ .

$z^{2} + z + 1 = 0$

Schritt 3.5.2

Löse $z^{2} + z + 1 = 0$ nach $z$ auf.

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Schritt 3.5.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.5.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 1$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $z$ auf.

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.2.3

Vereinfache.

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Schritt 3.5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.2.3.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$z = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 3.5.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$z = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$z = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.2.3.1.3

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$z = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.2.3.1.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$z = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$z = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$z = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$z = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 3.5.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$z = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(z - 1) (z^{2} + z + 1) = 0$ wahr machen.

$z = 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$