Grundlegende Mathematik Beispiele

$y = \frac{4}{\sqrt{16 - z^{2}}}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\frac{4}{\sqrt{16 - z^{2}}} = y$ um.

$\frac{4}{\sqrt{16 - z^{2}}} = y$

Schritt 2

Multipliziere über Kreuz.

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Schritt 2.1

Multipliziere über Kreuz, indem du das Produkt aus dem Zähler der rechten Seite und dem Nenner der linken Seite gleich dem Produkt aus dem Zähler der linken Seite und dem Nenner der rechten Seite setzt.

$y \cdot (\sqrt{16 - z^{2}}) = 4$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $y \cdot (\sqrt{16 - z^{2}})$ .

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Schritt 2.2.1.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y \cdot \sqrt{4^{2} - z^{2}} = 4$

Schritt 2.2.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 4$ und $b = z$ .

$y \sqrt{(4 + z) (4 - z)} = 4$

Schritt 3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(y \sqrt{(4 + z) (4 - z)})}^{2} = 4^{2}$

Schritt 4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(4 + z) (4 - z)}$ als ${((4 + z) (4 - z))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(y {((4 + z) (4 - z))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache ${(y {((4 + z) (4 - z))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Multipliziere $(4 + z) (4 - z)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

${(y {(4 (4 - z) + z (4 - z))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Schritt 4.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

${(y {(4 \cdot 4 + 4 (- z) + z (4 - z))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Schritt 4.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

${(y {(4 \cdot 4 + 4 (- z) + z \cdot 4 + z (- z))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Schritt 4.2.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.2.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

${(y {(16 + 4 (- z) + z \cdot 4 + z (- z))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Schritt 4.2.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

${(y {(16 - 4 z + z \cdot 4 + z (- z))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Schritt 4.2.1.2.1.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $z$ .

${(y {(16 - 4 z + 4 \cdot z + z (- z))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Schritt 4.2.1.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

${(y {(16 - 4 z + 4 z - z \cdot z)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Schritt 4.2.1.2.1.5

Multipliziere $z$ mit $z$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.1.2.1.5.1

Bewege $z$ .

${(y {(16 - 4 z + 4 z - (z \cdot z))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Schritt 4.2.1.2.1.5.2

Mutltipliziere $z$ mit $z$ .

${(y {(16 - 4 z + 4 z - z^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Schritt 4.2.1.2.2

Addiere $- 4 z$ und $4 z$ .

${(y {(16 + 0 - z^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Schritt 4.2.1.2.3

Addiere $16$ und $0$ .

${(y {(16 - z^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Schritt 4.2.1.3

Wende die Produktregel auf $y {(16 - z^{2})}^{\frac{1}{2}}$ an.

$y^{2} {({(16 - z^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Schritt 4.2.1.4

Multipliziere die Exponenten in ${({(16 - z^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{2} {(16 - z^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 4^{2}$

Schritt 4.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} {(16 - z^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 4^{2}$

Schritt 4.2.1.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} {(16 - z^{2})}^{1} = 4^{2}$

Schritt 4.2.1.5

Vereinfache.

$y^{2} (16 - z^{2}) = 4^{2}$

Schritt 4.2.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} \cdot 16 + y^{2} (- z^{2}) = 4^{2}$

Schritt 4.2.1.7

Stelle um.

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Schritt 4.2.1.7.1

Bringe $16$ auf die linke Seite von $y^{2}$ .

$16 \cdot y^{2} + y^{2} (- z^{2}) = 4^{2}$

Schritt 4.2.1.7.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$16 y^{2} - y^{2} z^{2} = 4^{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$16 y^{2} - y^{2} z^{2} = 16$

Schritt 5

Löse nach $z$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $16 y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y^{2} z^{2} = 16 - 16 y^{2}$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $- y^{2} z^{2} = 16 - 16 y^{2}$ durch $- y^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- y^{2} z^{2} = 16 - 16 y^{2}$ durch $- y^{2}$ .

$\frac{- y^{2} z^{2}}{- y^{2}} = \frac{16}{- y^{2}} + \frac{- 16 y^{2}}{- y^{2}}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y^{2} z^{2}}{y^{2}} = \frac{16}{- y^{2}} + \frac{- 16 y^{2}}{- y^{2}}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2} z^{2}}{y^{2}} = \frac{16}{- y^{2}} + \frac{- 16 y^{2}}{- y^{2}}$

Schritt 5.2.2.2.2

Dividiere $z^{2}$ durch $1$ .

$z^{2} = \frac{16}{- y^{2}} + \frac{- 16 y^{2}}{- y^{2}}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$z^{2} = - \frac{16}{y^{2}} + \frac{- 16 y^{2}}{- y^{2}}$

Schritt 5.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 5.2.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$z^{2} = - \frac{16}{y^{2}} + \frac{- 16 y^{2}}{- y^{2}}$

Schritt 5.2.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$z^{2} = - \frac{16}{y^{2}} + \frac{- 16}{- 1}$

Schritt 5.2.3.1.2.3

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{- 16}{- 1}$ .

$z^{2} = - \frac{16}{y^{2}} - 1 \cdot - 16$

Schritt 5.2.3.1.3

Schreibe $- 1 \cdot - 16$ als $- - 16$ um.

$z^{2} = - \frac{16}{y^{2}} - - 16$

Schritt 5.2.3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 16$ .

$z^{2} = - \frac{16}{y^{2}} + 16$

Schritt 5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$z = \pm \sqrt{- \frac{16}{y^{2}} + 16}$

Schritt 5.4

Vereinfache $\pm \sqrt{- \frac{16}{y^{2}} + 16}$ .

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $16$ aus $- \frac{16}{y^{2}} + 16$ heraus.

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Schritt 5.4.1.1

Faktorisiere $16$ aus $- \frac{16}{y^{2}}$ heraus.

$z = \pm \sqrt{16 (- \frac{1}{y^{2}}) + 16}$

Schritt 5.4.1.2

Faktorisiere $16$ aus $16$ heraus.

$z = \pm \sqrt{16 (- \frac{1}{y^{2}}) + 16 (1)}$

Schritt 5.4.1.3

Faktorisiere $16$ aus $16 (- \frac{1}{y^{2}}) + 16 (1)$ heraus.

$z = \pm \sqrt{16 (- \frac{1}{y^{2}} + 1)}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.4.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$z = \pm \sqrt{16 (- \frac{1}{y^{2}} + 1^{2})}$

Schritt 5.4.2.2

Schreibe $\frac{1}{y^{2}}$ als ${(\frac{1}{y})}^{2}$ um.

$z = \pm \sqrt{16 (- {(\frac{1}{y})}^{2} + 1^{2})}$

Schritt 5.4.2.3

Stelle $- {(\frac{1}{y})}^{2}$ und $1^{2}$ um.

$z = \pm \sqrt{16 (1^{2} - {(\frac{1}{y})}^{2})}$

Schritt 5.4.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = \frac{1}{y}$ .

$z = \pm \sqrt{16 (1 + \frac{1}{y}) (1 - \frac{1}{y})}$

Schritt 5.4.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$z = \pm \sqrt{16 (\frac{y}{y} + \frac{1}{y}) (1 - \frac{1}{y})}$

Schritt 5.4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$z = \pm \sqrt{16 \frac{y + 1}{y} (1 - \frac{1}{y})}$

Schritt 5.4.6

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$z = \pm \sqrt{16 \frac{y + 1}{y} (\frac{y}{y} - \frac{1}{y})}$

Schritt 5.4.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$z = \pm \sqrt{16 \frac{y + 1}{y} \frac{y - 1}{y}}$

Schritt 5.4.8

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 5.4.8.1

Kombiniere $16$ und $\frac{y + 1}{y}$ .

$z = \pm \sqrt{\frac{16 (y + 1)}{y} \cdot \frac{y - 1}{y}}$

Schritt 5.4.8.2

Mutltipliziere $\frac{16 (y + 1)}{y}$ mit $\frac{y - 1}{y}$ .

$z = \pm \sqrt{\frac{16 (y + 1) (y - 1)}{y \cdot y}}$

Schritt 5.4.8.3

Potenziere $y$ mit $1$ .

$z = \pm \sqrt{\frac{16 (y + 1) (y - 1)}{y^{1} y}}$

Schritt 5.4.8.4

Potenziere $y$ mit $1$ .

$z = \pm \sqrt{\frac{16 (y + 1) (y - 1)}{y^{1} y^{1}}}$

Schritt 5.4.8.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$z = \pm \sqrt{\frac{16 (y + 1) (y - 1)}{y^{1 + 1}}}$

Schritt 5.4.8.6

Addiere $1$ und $1$ .

$z = \pm \sqrt{\frac{16 (y + 1) (y - 1)}{y^{2}}}$

Schritt 5.4.9

Schreibe $\frac{16 (y + 1) (y - 1)}{y^{2}}$ als ${(\frac{2^{2}}{y})}^{2} ((y + 1) (y - 1))$ um.

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Schritt 5.4.9.1

Faktorisiere die perfekte Potenz ${(2^{2})}^{2}$ aus $16 (y + 1) (y - 1)$ heraus.

$z = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} ((y + 1) (y - 1))}{y^{2}}}$

Schritt 5.4.9.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $y^{2}$ aus $y^{2}$ heraus.

$z = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} ((y + 1) (y - 1))}{y^{2} \cdot 1}}$

Schritt 5.4.9.3

Ordne den Bruch $\frac{{(2^{2})}^{2} ((y + 1) (y - 1))}{y^{2} \cdot 1}$ um.

$z = \pm \sqrt{{(\frac{2^{2}}{y})}^{2} ((y + 1) (y - 1))}$

Schritt 5.4.10

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$z = \pm \frac{2^{2}}{y} \sqrt{(y + 1) (y - 1)}$

Schritt 5.4.11

Potenziere $2$ mit $2$ .

$z = \pm \frac{4}{y} \sqrt{(y + 1) (y - 1)}$

Schritt 5.4.12

Kombiniere $\frac{4}{y}$ und $\sqrt{(y + 1) (y - 1)}$ .

$z = \pm \frac{4 \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{y}$

Schritt 5.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$z = \frac{4 \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{y}$

Schritt 5.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$z = - \frac{4 \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{y}$

Schritt 5.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$z = \frac{4 \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{y}$

$z = - \frac{4 \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{y}$

$z = \frac{4 \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{y}$

$z = - \frac{4 \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{y}$

$z = \frac{4 \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{y}$

$z = - \frac{4 \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{y}$