Grundlegende Mathematik Beispiele

$9 z^{2} - 12 z y + 4 y^{2} = 0$

Schritt 1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2

Setze die Werte $a = 9$ , $b = - 12 y$ und $c = 4 y^{2}$ in die Quadratformel ein und löse nach $z$ auf.

$\frac{12 y \pm \sqrt{{(- 12 y)}^{2} - 4 \cdot (9 \cdot (4 y^{2}))}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Schreibe $4 \cdot 9 \cdot 4 y^{2}$ als ${(2 \cdot 3 \cdot 2 y)}^{2}$ um.

$z = \frac{12 y \pm \sqrt{{(- 12 y)}^{2} - {(2 \cdot 3 \cdot (2 y))}^{2}}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = - 12 y$ und $b = 2 \cdot 3 \cdot 2 y$ .

$z = \frac{12 y \pm \sqrt{(- 12 y + 2 \cdot 3 \cdot (2 y)) (- 12 y - (2 \cdot 3 \cdot (2 y)))}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.1.3

Vereinfache.

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Schritt 3.1.3.1

Faktorisiere $2 y$ aus $- 12 y + 2 \cdot 3 \cdot 2 y$ heraus.

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Schritt 3.1.3.1.1

Faktorisiere $2 y$ aus $- 12 y$ heraus.

$z = \frac{12 y \pm \sqrt{(2 y (- 6) + 2 \cdot 3 \cdot (2 y)) (- 12 y - (2 \cdot 3 \cdot (2 y)))}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.1.3.1.2

Faktorisiere $2 y$ aus $2 \cdot 3 \cdot 2 y$ heraus.

$z = \frac{12 y \pm \sqrt{(2 y (- 6) + 2 y (3 \cdot 2)) (- 12 y - (2 \cdot 3 \cdot (2 y)))}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.1.3.1.3

Faktorisiere $2 y$ aus $2 y (- 6) + 2 y (3 \cdot 2)$ heraus.

$z = \frac{12 y \pm \sqrt{2 y (- 6 + 3 \cdot 2) (- 12 y - (2 \cdot 3 \cdot (2 y)))}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.1.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$z = \frac{12 y \pm \sqrt{2 y (- 6 + 6) (- 12 y - (2 \cdot 3 \cdot (2 y)))}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.1.3.3

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 3.1.3.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$z = \frac{12 y \pm \sqrt{2 y (- 6 + 6) (- 12 y - (6 \cdot (2 y)))}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.1.3.3.2

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$z = \frac{12 y \pm \sqrt{2 y (- 6 + 6) (- 12 y - (12 y))}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.1.3.3.3

Mutltipliziere $12$ mit $- 1$ .

$z = \frac{12 y \pm \sqrt{2 y (- 6 + 6) (- 12 y - 12 y)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.1.4

Addiere $- 6$ und $6$ .

$z = \frac{12 y \pm \sqrt{2 y \cdot (0 (- 12 y - 12 y))}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.1.5

Subtrahiere $12 y$ von $- 12 y$ .

$z = \frac{12 y \pm \sqrt{2 y \cdot 0 \cdot (- 24 y)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.1.6

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 3.1.6.1

Mutltipliziere $0$ mit $2$ .

$z = \frac{12 y \pm \sqrt{0 y \cdot (- 24 y)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.1.6.2

Mutltipliziere $0$ mit $y$ .

$z = \frac{12 y \pm \sqrt{0 \cdot (- 24 y)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.1.6.3

Mutltipliziere $0$ mit $- 24$ .

$z = \frac{12 y \pm \sqrt{0 y}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.1.6.4

Mutltipliziere $0$ mit $y$ .

$z = \frac{12 y \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.1.7

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$z = \frac{12 y \pm \sqrt{0^{2}}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$z = \frac{12 y \pm 0}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.1.9

$12 y$ plus or minus $0$ is $12 y$ .

$z = \frac{12 y}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$z = \frac{12 y}{18}$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $18$ .

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $6$ aus $12 y$ heraus.

$z = \frac{6 (2 y)}{18}$

Schritt 3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.2.1

Faktorisiere $6$ aus $18$ heraus.

$z = \frac{6 (2 y)}{6 (3)}$

Schritt 3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$z = \frac{6 (2 y)}{6 \cdot 3}$

Schritt 3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$z = \frac{2 y}{3}$

Schritt 4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$z = \frac{2 y}{3}$ doppelte Wurzeln