Grundlegende Mathematik Beispiele

$9 z^{2} - {(z + 1)}^{2} = y - 3$

Schritt 1

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 1.1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$9 z^{2} - {(z + 1)}^{2} - y = - 3$

Schritt 1.1.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$9 z^{2} - {(z + 1)}^{2} - y + 3 = 0$

Schritt 1.2

Vereinfache $9 z^{2} - {(z + 1)}^{2} - y + 3$ .

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Schritt 1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1

Schreibe ${(z + 1)}^{2}$ als $(z + 1) (z + 1)$ um.

$9 z^{2} - ((z + 1) (z + 1)) - y + 3 = 0$

Schritt 1.2.1.2

Multipliziere $(z + 1) (z + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$9 z^{2} - (z (z + 1) + 1 (z + 1)) - y + 3 = 0$

Schritt 1.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$9 z^{2} - (z \cdot z + z \cdot 1 + 1 (z + 1)) - y + 3 = 0$

Schritt 1.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$9 z^{2} - (z \cdot z + z \cdot 1 + 1 z + 1 \cdot 1) - y + 3 = 0$

Schritt 1.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.3.1.1

Mutltipliziere $z$ mit $z$ .

$9 z^{2} - (z^{2} + z \cdot 1 + 1 z + 1 \cdot 1) - y + 3 = 0$

Schritt 1.2.1.3.1.2

Mutltipliziere $z$ mit $1$ .

$9 z^{2} - (z^{2} + z + 1 z + 1 \cdot 1) - y + 3 = 0$

Schritt 1.2.1.3.1.3

Mutltipliziere $z$ mit $1$ .

$9 z^{2} - (z^{2} + z + z + 1 \cdot 1) - y + 3 = 0$

Schritt 1.2.1.3.1.4

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$9 z^{2} - (z^{2} + z + z + 1) - y + 3 = 0$

Schritt 1.2.1.3.2

Addiere $z$ und $z$ .

$9 z^{2} - (z^{2} + 2 z + 1) - y + 3 = 0$

Schritt 1.2.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$9 z^{2} - z^{2} - (2 z) - 1 \cdot 1 - y + 3 = 0$

Schritt 1.2.1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$9 z^{2} - z^{2} - 2 z - 1 \cdot 1 - y + 3 = 0$

Schritt 1.2.1.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$9 z^{2} - z^{2} - 2 z - 1 - y + 3 = 0$

Schritt 1.2.2

Subtrahiere $z^{2}$ von $9 z^{2}$ .

$8 z^{2} - 2 z - 1 - y + 3 = 0$

Schritt 1.2.3

Addiere $- 1$ und $3$ .

$8 z^{2} - 2 z - y + 2 = 0$

Schritt 2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3

Setze die Werte $a = 8$ , $b = - 2$ und $c = - y + 2$ in die Quadratformel ein und löse nach $z$ auf.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (8 \cdot (- y + 2))}}{2 \cdot 8}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$z = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 8 \cdot (- y + 2)}}{2 \cdot 8}$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $8$ .

$z = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 32 \cdot (- y + 2)}}{2 \cdot 8}$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$z = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 32 (- y) - 32 \cdot 2}}{2 \cdot 8}$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 32$ .

$z = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32 y - 32 \cdot 2}}{2 \cdot 8}$

Schritt 4.1.5

Mutltipliziere $- 32$ mit $2$ .

$z = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32 y - 64}}{2 \cdot 8}$

Schritt 4.1.6

Subtrahiere $64$ von $4$ .

$z = \frac{2 \pm \sqrt{32 y - 60}}{2 \cdot 8}$

Schritt 4.1.7

Faktorisiere $4$ aus $32 y - 60$ heraus.

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Schritt 4.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $32 y$ heraus.

$z = \frac{2 \pm \sqrt{4 (8 y) - 60}}{2 \cdot 8}$

Schritt 4.1.7.2

Faktorisiere $4$ aus $- 60$ heraus.

$z = \frac{2 \pm \sqrt{4 (8 y) + 4 (- 15)}}{2 \cdot 8}$

Schritt 4.1.7.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (8 y) + 4 (- 15)$ heraus.

$z = \frac{2 \pm \sqrt{4 (8 y - 15)}}{2 \cdot 8}$

Schritt 4.1.8

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$z = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (8 y - 15)}}{2 \cdot 8}$

Schritt 4.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$z = \frac{2 \pm 2 \sqrt{8 y - 15}}{2 \cdot 8}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$z = \frac{2 \pm 2 \sqrt{8 y - 15}}{16}$

Schritt 4.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{8 y - 15}}{16}$ .

$z = \frac{1 \pm \sqrt{8 y - 15}}{8}$

Schritt 5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$z = \frac{1 + \sqrt{8 y - 15}}{8}$

$z = \frac{1 - \sqrt{8 y - 15}}{8}$