Grundlegende Mathematik Beispiele

$3^{1 - a} - 3^{a} = 2$

Schritt 1

Schreibe $3^{1 - a}$ als $3^{1} \cdot 3^{- a}$ um.

$3 \cdot 3^{- a} - 3^{a} = 2$

Schritt 2

Schreibe $3^{- a}$ als Potenz um.

$3 \cdot {(3^{a})}^{- 1} - 3^{a} = 2$

Schritt 3

Ersetze $3^{a}$ durch $u$ .

$3 \cdot u^{- 1} - u = 2$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 \cdot \frac{1}{u} - u = 2$

Schritt 4.2

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{u}$ .

$\frac{3}{u} - u = 2$

Schritt 5

Stelle $\frac{3}{u}$ und $- u$ um.

$- u + \frac{3}{u} = 2$

Schritt 6

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 6.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 6.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, u, 1$

Schritt 6.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$u$

Schritt 6.2

Multipliziere jeden Term in $- u + \frac{3}{u} = 2$ mit $u$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 6.2.1

Multipliziere jeden Term in $- u + \frac{3}{u} = 2$ mit $u$ .

$- u \cdot u + \frac{3}{u} u = 2 u$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.2.1.1

Multipliziere $u$ mit $u$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.2.2.1.1.1

Bewege $u$ .

$- (u \cdot u) + \frac{3}{u} u = 2 u$

Schritt 6.2.2.1.1.2

Mutltipliziere $u$ mit $u$ .

$- u^{2} + \frac{3}{u} u = 2 u$

Schritt 6.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $u$ .

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Schritt 6.2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- u^{2} + \frac{3}{u} u = 2 u$

Schritt 6.2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- u^{2} + 3 = 2 u$

Schritt 6.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 6.3.1

Subtrahiere $2 u$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- u^{2} + 3 - 2 u = 0$

Schritt 6.3.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- u^{2} + 3 - 2 u$ heraus.

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Schritt 6.3.2.1.1

Bewege $3$ .

$- u^{2} - 2 u + 3 = 0$

Schritt 6.3.2.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- u^{2}$ heraus.

$- (u^{2}) - 2 u + 3 = 0$

Schritt 6.3.2.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 u$ heraus.

$- (u^{2}) - (2 u) + 3 = 0$

Schritt 6.3.2.1.4

Schreibe $3$ als $- 1 (- 3)$ um.

$- (u^{2}) - (2 u) - 1 \cdot - 3 = 0$

Schritt 6.3.2.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (u^{2}) - (2 u)$ heraus.

$- (u^{2} + 2 u) - 1 \cdot - 3 = 0$

Schritt 6.3.2.1.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (u^{2} + 2 u) - 1 (- 3)$ heraus.

$- (u^{2} + 2 u - 3) = 0$

Schritt 6.3.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 6.3.2.2.1

Faktorisiere $u^{2} + 2 u - 3$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 6.3.2.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 3$ und deren Summe $2$ ist.

$- 1, 3$

Schritt 6.3.2.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- ((u - 1) (u + 3)) = 0$

Schritt 6.3.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (u - 1) (u + 3) = 0$

Schritt 6.3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u - 1 = 0$

$u + 3 = 0$

Schritt 6.3.4

Setze $u - 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 6.3.4.1

Setze $u - 1$ gleich $0$ .

$u - 1 = 0$

Schritt 6.3.4.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 1$

Schritt 6.3.5

Setze $u + 3$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 6.3.5.1

Setze $u + 3$ gleich $0$ .

$u + 3 = 0$

Schritt 6.3.5.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u = - 3$

Schritt 6.3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (u - 1) (u + 3) = 0$ wahr machen.

$u = 1, - 3$

Schritt 7

Setze $1$ für $u$ in $u = 3^{a}$ ein.

$1 = 3^{a}$

Schritt 8

Löse $1 = 3^{a}$ .

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Schritt 8.1

Schreibe die Gleichung als $3^{a} = 1$ um.

$3^{a} = 1$

Schritt 8.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (3^{a}) = \ln (1)$

Schritt 8.3

Zerlege $\ln (3^{a})$ durch Herausziehen von $a$ aus dem Logarithmus.

$a \ln (3) = \ln (1)$

Schritt 8.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.4.1

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$a \ln (3) = 0$

Schritt 8.5

Teile jeden Ausdruck in $a \ln (3) = 0$ durch $\ln (3)$ und vereinfache.

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Schritt 8.5.1

Teile jeden Ausdruck in $a \ln (3) = 0$ durch $\ln (3)$ .

$\frac{a \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

Schritt 8.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (3)$ .

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Schritt 8.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

Schritt 8.5.2.1.2

Dividiere $a$ durch $1$ .

$a = \frac{0}{\ln (3)}$

Schritt 8.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.5.3.1

Dividiere $0$ durch $\ln (3)$ .

$a = 0$

Schritt 9

Setze $- 3$ für $u$ in $u = 3^{a}$ ein.

$- 3 = 3^{a}$

Schritt 10

Löse $- 3 = 3^{a}$ .

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Schritt 10.1

Schreibe die Gleichung als $3^{a} = - 3$ um.

$3^{a} = - 3$

Schritt 10.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (3^{a}) = \ln (- 3)$

Schritt 10.3

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (- 3)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 10.4

Es gibt keine Lösung für $3^{a} = - 3$

Keine Lösung

Schritt 11

Liste die Lösungen auf, die die Gleichung erfüllen.

$a = 0$