Grundlegende Mathematik Beispiele

$f (3 a) = 2 {(3 a)}^{2} - 3 (3 a) + 4$

Schritt 1

Da $a$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$2 {(3 a)}^{2} - 3 \cdot (3 a) + 4 = f \cdot (3 a)$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Wende die Produktregel auf $3 a$ an.

$2 (3^{2} a^{2}) - 3 \cdot (3 a) + 4 = f \cdot (3 a)$

Schritt 2.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$2 (9 a^{2}) - 3 \cdot (3 a) + 4 = f \cdot (3 a)$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $9$ mit $2$ .

$18 a^{2} - 3 \cdot (3 a) + 4 = f \cdot (3 a)$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$18 a^{2} - 9 a + 4 = f \cdot (3 a)$

Schritt 3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$18 a^{2} - 9 a + 4 = 3 f a$

Schritt 4

Subtrahiere $3 f a$ von beiden Seiten der Gleichung.

$18 a^{2} - 9 a + 4 - 3 f a = 0$

Schritt 5

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6

Setze die Werte $a = 18$ , $b = - 9 - 3 f$ und $c = 4$ in die Quadratformel ein und löse nach $a$ auf.

$\frac{- (- 9 - 3 f) \pm \sqrt{{(- 9 - 3 f)}^{2} - 4 \cdot (18 \cdot 4)}}{2 \cdot 18}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$a = \frac{9 - (- 3 f) \pm \sqrt{{(- 9 - 3 f)}^{2} - 4 \cdot 18 \cdot 4}}{2 \cdot 18}$

Schritt 7.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 9$ .

$a = \frac{9 - (- 3 f) \pm \sqrt{{(- 9 - 3 f)}^{2} - 4 \cdot 18 \cdot 4}}{2 \cdot 18}$

Schritt 7.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$a = \frac{9 + 3 f \pm \sqrt{{(- 9 - 3 f)}^{2} - 4 \cdot 18 \cdot 4}}{2 \cdot 18}$

Schritt 7.1.4

Schreibe ${(- 9 - 3 f)}^{2}$ als $(- 9 - 3 f) (- 9 - 3 f)$ um.

$a = \frac{9 + 3 f \pm \sqrt{(- 9 - 3 f) (- 9 - 3 f) - 4 \cdot 18 \cdot 4}}{2 \cdot 18}$

Schritt 7.1.5

Multipliziere $(- 9 - 3 f) (- 9 - 3 f)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 7.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$a = \frac{9 + 3 f \pm \sqrt{- 9 (- 9 - 3 f) - 3 f (- 9 - 3 f) - 4 \cdot 18 \cdot 4}}{2 \cdot 18}$

Schritt 7.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$a = \frac{9 + 3 f \pm \sqrt{- 9 \cdot - 9 - 9 (- 3 f) - 3 f (- 9 - 3 f) - 4 \cdot 18 \cdot 4}}{2 \cdot 18}$

Schritt 7.1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$a = \frac{9 + 3 f \pm \sqrt{- 9 \cdot - 9 - 9 (- 3 f) - 3 f \cdot - 9 - 3 f (- 3 f) - 4 \cdot 18 \cdot 4}}{2 \cdot 18}$

Schritt 7.1.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 7.1.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1.6.1.1

Mutltipliziere $- 9$ mit $- 9$ .

$a = \frac{9 + 3 f \pm \sqrt{81 - 9 (- 3 f) - 3 f \cdot - 9 - 3 f (- 3 f) - 4 \cdot 18 \cdot 4}}{2 \cdot 18}$

Schritt 7.1.6.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 9$ .

$a = \frac{9 + 3 f \pm \sqrt{81 + 27 f - 3 f \cdot - 9 - 3 f (- 3 f) - 4 \cdot 18 \cdot 4}}{2 \cdot 18}$

Schritt 7.1.6.1.3

Mutltipliziere $- 9$ mit $- 3$ .

$a = \frac{9 + 3 f \pm \sqrt{81 + 27 f + 27 f - 3 f (- 3 f) - 4 \cdot 18 \cdot 4}}{2 \cdot 18}$

Schritt 7.1.6.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$a = \frac{9 + 3 f \pm \sqrt{81 + 27 f + 27 f - 3 \cdot (- 3 f \cdot f) - 4 \cdot 18 \cdot 4}}{2 \cdot 18}$

Schritt 7.1.6.1.5

Multipliziere $f$ mit $f$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.1.6.1.5.1

Bewege $f$ .

$a = \frac{9 + 3 f \pm \sqrt{81 + 27 f + 27 f - 3 \cdot (- 3 (f \cdot f)) - 4 \cdot 18 \cdot 4}}{2 \cdot 18}$

Schritt 7.1.6.1.5.2

Mutltipliziere $f$ mit $f$ .

$a = \frac{9 + 3 f \pm \sqrt{81 + 27 f + 27 f - 3 \cdot (- 3 f^{2}) - 4 \cdot 18 \cdot 4}}{2 \cdot 18}$

Schritt 7.1.6.1.6

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$a = \frac{9 + 3 f \pm \sqrt{81 + 27 f + 27 f + 9 f^{2} - 4 \cdot 18 \cdot 4}}{2 \cdot 18}$

Schritt 7.1.6.2

Addiere $27 f$ und $27 f$ .

$a = \frac{9 + 3 f \pm \sqrt{81 + 54 f + 9 f^{2} - 4 \cdot 18 \cdot 4}}{2 \cdot 18}$

Schritt 7.1.7

Multipliziere $- 4 \cdot 18 \cdot 4$ .

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Schritt 7.1.7.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $18$ .

$a = \frac{9 + 3 f \pm \sqrt{81 + 54 f + 9 f^{2} - 72 \cdot 4}}{2 \cdot 18}$

Schritt 7.1.7.2

Mutltipliziere $- 72$ mit $4$ .

$a = \frac{9 + 3 f \pm \sqrt{81 + 54 f + 9 f^{2} - 288}}{2 \cdot 18}$

Schritt 7.1.8

Subtrahiere $288$ von $81$ .

$a = \frac{9 + 3 f \pm \sqrt{54 f + 9 f^{2} - 207}}{2 \cdot 18}$

Schritt 7.1.9

Stelle die Terme um.

$a = \frac{9 + 3 f \pm \sqrt{9 f^{2} + 54 f - 207}}{2 \cdot 18}$

Schritt 7.1.10

Faktorisiere $9$ aus $9 f^{2} + 54 f - 207$ heraus.

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Schritt 7.1.10.1

Faktorisiere $9$ aus $9 f^{2}$ heraus.

$a = \frac{9 + 3 f \pm \sqrt{9 (f^{2}) + 54 f - 207}}{2 \cdot 18}$

Schritt 7.1.10.2

Faktorisiere $9$ aus $54 f$ heraus.

$a = \frac{9 + 3 f \pm \sqrt{9 (f^{2}) + 9 (6 f) - 207}}{2 \cdot 18}$

Schritt 7.1.10.3

Faktorisiere $9$ aus $- 207$ heraus.

$a = \frac{9 + 3 f \pm \sqrt{9 f^{2} + 9 (6 f) + 9 \cdot - 23}}{2 \cdot 18}$

Schritt 7.1.10.4

Faktorisiere $9$ aus $9 f^{2} + 9 (6 f)$ heraus.

$a = \frac{9 + 3 f \pm \sqrt{9 (f^{2} + 6 f) + 9 \cdot - 23}}{2 \cdot 18}$

Schritt 7.1.10.5

Faktorisiere $9$ aus $9 (f^{2} + 6 f) + 9 \cdot - 23$ heraus.

$a = \frac{9 + 3 f \pm \sqrt{9 (f^{2} + 6 f - 23)}}{2 \cdot 18}$

Schritt 7.1.11

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$a = \frac{9 + 3 f \pm \sqrt{3^{2} (f^{2} + 6 f - 23)}}{2 \cdot 18}$

Schritt 7.1.12

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$a = \frac{9 + 3 f \pm 3 \sqrt{f^{2} + 6 f - 23}}{2 \cdot 18}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $18$ .

$a = \frac{9 + 3 f \pm 3 \sqrt{f^{2} + 6 f - 23}}{36}$

Schritt 8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$a = \frac{3 + f + \sqrt{f^{2} + 6 f - 23}}{12}$

$a = \frac{3 + f - \sqrt{f^{2} + 6 f - 23}}{12}$