Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{k^{2} + 3 k - 4}{k - 4} \cdot \frac{k^{2} - 16}{k^{2} - 1} = a$

Schritt 1

Vereinfache $\frac{k^{2} + 3 k - 4}{k - 4} \cdot \frac{k^{2} - 16}{k^{2} - 1}$ .

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Schritt 1.1

Faktorisiere $k^{2} + 3 k - 4$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 4$ und deren Summe $3$ ist.

$- 1, 4$

Schritt 1.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(k - 1) (k + 4)}{k - 4} \cdot \frac{k^{2} - 16}{k^{2} - 1} = a$

Schritt 1.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{(k - 1) (k + 4)}{k - 4} \cdot \frac{k^{2} - 4^{2}}{k^{2} - 1} = a$

Schritt 1.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = k$ und $b = 4$ .

$\frac{(k - 1) (k + 4)}{k - 4} \cdot \frac{(k + 4) (k - 4)}{k^{2} - 1} = a$

Schritt 1.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.3.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{(k - 1) (k + 4)}{k - 4} \cdot \frac{(k + 4) (k - 4)}{k^{2} - 1^{2}} = a$

Schritt 1.3.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = k$ und $b = 1$ .

$\frac{(k - 1) (k + 4)}{k - 4} \cdot \frac{(k + 4) (k - 4)}{(k + 1) (k - 1)} = a$

Schritt 1.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $k - 1$ .

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Schritt 1.4.1.1

Faktorisiere $k - 1$ aus $(k + 1) (k - 1)$ heraus.

$\frac{(k - 1) (k + 4)}{k - 4} \cdot \frac{(k + 4) (k - 4)}{(k - 1) (k + 1)} = a$

Schritt 1.4.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(k - 1) (k + 4)}{k - 4} \cdot \frac{(k + 4) (k - 4)}{(k - 1) (k + 1)} = a$

Schritt 1.4.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{k + 4}{k - 4} \cdot \frac{(k + 4) (k - 4)}{k + 1} = a$

Schritt 1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $k - 4$ .

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Schritt 1.4.2.1

Faktorisiere $k - 4$ aus $(k + 4) (k - 4)$ heraus.

$\frac{k + 4}{k - 4} \cdot \frac{(k - 4) (k + 4)}{k + 1} = a$

Schritt 1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{k + 4}{k - 4} \cdot \frac{(k - 4) (k + 4)}{k + 1} = a$

Schritt 1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$(k + 4) \cdot \frac{k + 4}{k + 1} = a$

$\frac{(k + 4) (k + 4)}{k + 1} = a$

Schritt 1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.1

Potenziere $k + 4$ mit $1$ .

$\frac{{(k + 4)}^{1} (k + 4)}{k + 1} = a$

Schritt 1.5.2

Potenziere $k + 4$ mit $1$ .

$\frac{{(k + 4)}^{1} {(k + 4)}^{1}}{k + 1} = a$

Schritt 1.5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{(k + 4)}^{1 + 1}}{k + 1} = a$

Schritt 1.5.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{{(k + 4)}^{2}}{k + 1} = a$

Schritt 2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$k + 1, 1$

Schritt 2.2

Entferne die Klammern.

$k + 1, 1$

Schritt 2.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$k + 1$

Schritt 3

Multipliziere jeden Term in $\frac{{(k + 4)}^{2}}{k + 1} = a$ mit $k + 1$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{{(k + 4)}^{2}}{k + 1} = a$ mit $k + 1$ .

$\frac{{(k + 4)}^{2}}{k + 1} (k + 1) = a (k + 1)$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $k + 1$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(k + 4)}^{2}}{k + 1} (k + 1) = a (k + 1)$

Schritt 3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

${(k + 4)}^{2} = a (k + 1)$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

${(k + 4)}^{2} = a k + a \cdot 1$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $a$ mit $1$ .

${(k + 4)}^{2} = a k + a$

Schritt 4

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.1

Bringe alle Terme, die $k$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1.1

Subtrahiere $a k$ von beiden Seiten der Gleichung.

${(k + 4)}^{2} - a k = a$

Schritt 4.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1

Schreibe ${(k + 4)}^{2}$ als $(k + 4) (k + 4)$ um.

$(k + 4) (k + 4) - a k = a$

Schritt 4.1.2.2

Multipliziere $(k + 4) (k + 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$k (k + 4) + 4 (k + 4) - a k = a$

Schritt 4.1.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$k \cdot k + k \cdot 4 + 4 (k + 4) - a k = a$

Schritt 4.1.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$k \cdot k + k \cdot 4 + 4 k + 4 \cdot 4 - a k = a$

Schritt 4.1.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.3.1.1

Mutltipliziere $k$ mit $k$ .

$k^{2} + k \cdot 4 + 4 k + 4 \cdot 4 - a k = a$

Schritt 4.1.2.3.1.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $k$ .

$k^{2} + 4 \cdot k + 4 k + 4 \cdot 4 - a k = a$

Schritt 4.1.2.3.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$k^{2} + 4 k + 4 k + 16 - a k = a$

Schritt 4.1.2.3.2

Addiere $4 k$ und $4 k$ .

$k^{2} + 8 k + 16 - a k = a$

Schritt 4.2

Subtrahiere $a$ von beiden Seiten der Gleichung.

$k^{2} + 8 k + 16 - a k - a = 0$

Schritt 4.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.4

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 8 - a$ und $c = 16 - a$ in die Quadratformel ein und löse nach $k$ auf.

$\frac{- (8 - a) \pm \sqrt{{(8 - a)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (16 - a))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5

Vereinfache.

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Schritt 4.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$k = \frac{- 1 \cdot 8 + a \pm \sqrt{{(8 - a)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{{(8 - a)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.3

Multipliziere $- - a$ .

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Schritt 4.5.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$k = \frac{- 8 + 1 a \pm \sqrt{{(8 - a)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.3.2

Mutltipliziere $a$ mit $1$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{{(8 - a)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.4

Schreibe ${(8 - a)}^{2}$ als $(8 - a) (8 - a)$ um.

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{(8 - a) (8 - a) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.5

Multipliziere $(8 - a) (8 - a)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.5.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{8 (8 - a) - a (8 - a) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{8 \cdot 8 + 8 (- a) - a (8 - a) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{8 \cdot 8 + 8 (- a) - a \cdot 8 - a (- a) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.5.1.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.5.1.6.1.1

Mutltipliziere $8$ mit $8$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 + 8 (- a) - a \cdot 8 - a (- a) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.6.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 8 a - a \cdot 8 - a (- a) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.6.1.3

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 8 a - 8 a - a (- a) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.6.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 8 a - 8 a - 1 \cdot (- 1 a \cdot a) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.6.1.5

Multipliziere $a$ mit $a$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.5.1.6.1.5.1

Bewege $a$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 8 a - 8 a - 1 \cdot (- 1 (a \cdot a)) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.6.1.5.2

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 8 a - 8 a - 1 \cdot (- 1 a^{2}) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.6.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 8 a - 8 a + 1 a^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.6.1.7

Mutltipliziere $a^{2}$ mit $1$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 8 a - 8 a + a^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.6.2

Subtrahiere $8 a$ von $- 8 a$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 16 a + a^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.7

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 16 a + a^{2} - 4 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.8

Wende das Distributivgesetz an.

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 16 a + a^{2} - 4 \cdot 16 - 4 (- a)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.9

Mutltipliziere $- 4$ mit $16$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 16 a + a^{2} - 64 - 4 (- a)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 16 a + a^{2} - 64 + 4 a}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.11

Subtrahiere $64$ von $64$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{- 16 a + a^{2} + 0 + 4 a}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.12

Addiere $- 16 a$ und $0$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{a^{2} - 16 a + 4 a}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.13

Addiere $- 16 a$ und $4 a$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{a^{2} - 12 a}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.14

Faktorisiere $a$ aus $a^{2} - 12 a$ heraus.

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Schritt 4.5.1.14.1

Faktorisiere $a$ aus $a^{2}$ heraus.

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{a \cdot a - 12 a}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.14.2

Faktorisiere $a$ aus $- 12 a$ heraus.

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{a \cdot a + a \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.14.3

Faktorisiere $a$ aus $a \cdot a + a \cdot - 12$ heraus.

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{a (a - 12)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{a (a - 12)}}{2}$

Schritt 4.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$k = - \frac{8 - a - \sqrt{a (a - 12)}}{2}$

$k = - \frac{8 - a + \sqrt{a (a - 12)}}{2}$

$k = - \frac{8 - a - \sqrt{a (a - 12)}}{2}$

$k = - \frac{8 - a + \sqrt{a (a - 12)}}{2}$