Grundlegende Mathematik Beispiele

$3 \sqrt{10 - k} - k = 0$

Schritt 1

Addiere $k$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 \sqrt{10 - k} = k$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(3 \sqrt{10 - k})}^{2} = k^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{10 - k}$ als ${(10 - k)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(3 {(10 - k)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = k^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${(3 {(10 - k)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $3 {(10 - k)}^{\frac{1}{2}}$ an.

$3^{2} {({(10 - k)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = k^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$9 {({(10 - k)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = k^{2}$

Schritt 3.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(10 - k)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 {(10 - k)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = k^{2}$

Schritt 3.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 {(10 - k)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = k^{2}$

Schritt 3.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$9 {(10 - k)}^{1} = k^{2}$

Schritt 3.2.1.4

Vereinfache.

$9 (10 - k) = k^{2}$

Schritt 3.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$9 \cdot 10 + 9 (- k) = k^{2}$

Schritt 3.2.1.6

Multipliziere.

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Schritt 3.2.1.6.1

Mutltipliziere $9$ mit $10$ .

$90 + 9 (- k) = k^{2}$

Schritt 3.2.1.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$90 - 9 k = k^{2}$

Schritt 4

Löse nach $k$ auf.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $k^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$90 - 9 k - k^{2} = 0$

Schritt 4.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $90 - 9 k - k^{2}$ heraus.

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Schritt 4.2.1.1

Stelle den Ausdruck um.

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Schritt 4.2.1.1.1

Bewege $90$ .

$- 9 k - k^{2} + 90 = 0$

Schritt 4.2.1.1.2

Stelle $- 9 k$ und $- k^{2}$ um.

$- k^{2} - 9 k + 90 = 0$

Schritt 4.2.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- k^{2}$ heraus.

$- (k^{2}) - 9 k + 90 = 0$

Schritt 4.2.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 9 k$ heraus.

$- (k^{2}) - (9 k) + 90 = 0$

Schritt 4.2.1.4

Schreibe $90$ als $- 1 (- 90)$ um.

$- (k^{2}) - (9 k) - 1 \cdot - 90 = 0$

Schritt 4.2.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (k^{2}) - (9 k)$ heraus.

$- (k^{2} + 9 k) - 1 \cdot - 90 = 0$

Schritt 4.2.1.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (k^{2} + 9 k) - 1 (- 90)$ heraus.

$- (k^{2} + 9 k - 90) = 0$

Schritt 4.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 4.2.2.1

Faktorisiere $k^{2} + 9 k - 90$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.2.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 90$ und deren Summe $9$ ist.

$- 6, 15$

Schritt 4.2.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- ((k - 6) (k + 15)) = 0$

Schritt 4.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (k - 6) (k + 15) = 0$

Schritt 4.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$k - 6 = 0$

$k + 15 = 0$

Schritt 4.4

Setze $k - 6$ gleich $0$ und löse nach $k$ auf.

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Schritt 4.4.1

Setze $k - 6$ gleich $0$ .

$k - 6 = 0$

Schritt 4.4.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$k = 6$

Schritt 4.5

Setze $k + 15$ gleich $0$ und löse nach $k$ auf.

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Schritt 4.5.1

Setze $k + 15$ gleich $0$ .

$k + 15 = 0$

Schritt 4.5.2

Subtrahiere $15$ von beiden Seiten der Gleichung.

$k = - 15$

Schritt 4.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (k - 6) (k + 15) = 0$ wahr machen.

$k = 6, - 15$

Schritt 5

Schließe die Lösungen aus, die $3 \sqrt{10 - k} - k = 0$ nicht erfüllen.

$k = 6$