Grundlegende Mathematik Beispiele

$4 k^{\frac{4}{3}} - 65 k^{\frac{2}{3}} + 16 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Schreibe $k^{\frac{4}{3}}$ als ${(k^{\frac{2}{3}})}^{2}$ um.

$4 {(k^{\frac{2}{3}})}^{2} - 65 k^{\frac{2}{3}} + 16 = 0$

Schritt 1.2

Es sei $u = k^{\frac{2}{3}}$ . Ersetze $u$ für alle $k^{\frac{2}{3}}$ .

$4 u^{2} - 65 u + 16 = 0$

Schritt 1.3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 4 \cdot 16 = 64$ und deren Summe gleich $b = - 65$ ist.

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Schritt 1.3.1.1

Faktorisiere $- 65$ aus $- 65 u$ heraus.

$4 u^{2} - 65 u + 16 = 0$

Schritt 1.3.1.2

Schreibe $- 65$ um als $- 1$ plus $- 64$

$4 u^{2} + (- 1 - 64) u + 16 = 0$

Schritt 1.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 u^{2} - 1 u - 64 u + 16 = 0$

Schritt 1.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(4 u^{2} - 1 u) - 64 u + 16 = 0$

Schritt 1.3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$u (4 u - 1) - 16 (4 u - 1) = 0$

Schritt 1.3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $4 u - 1$ .

$(4 u - 1) (u - 16) = 0$

Schritt 1.4

Ersetze alle $u$ durch $k^{\frac{2}{3}}$ .

$(4 k^{\frac{2}{3}} - 1) (k^{\frac{2}{3}} - 16) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$4 k^{\frac{2}{3}} - 1 = 0$

$k^{\frac{2}{3}} - 16 = 0$

Schritt 3

Setze $4 k^{\frac{2}{3}} - 1$ gleich $0$ und löse nach $k$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $4 k^{\frac{2}{3}} - 1$ gleich $0$ .

$4 k^{\frac{2}{3}} - 1 = 0$

Schritt 3.2

Löse $4 k^{\frac{2}{3}} - 1 = 0$ nach $k$ auf.

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Schritt 3.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 k^{\frac{2}{3}} = 1$

Schritt 3.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{3}{2}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(4 k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 3.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.3.1.1

Vereinfache ${(4 k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 3.2.3.1.1.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.3.1.1.1.1

Wende die Produktregel auf $4 k^{\frac{2}{3}}$ an.

$4^{\frac{3}{2}} {(k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.2.3.1.1.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

${(2^{2})}^{\frac{3}{2}} {(k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.2.3.1.1.1.3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{2 (\frac{3}{2})} {(k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.2.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2^{2 (\frac{3}{2})} {(k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.2.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$2^{3} {(k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.2.3.1.1.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.3.1.1.3.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$8 {(k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.2.3.1.1.3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 3.2.3.1.1.3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 k^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.2.3.1.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.3.1.1.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 k^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.2.3.1.1.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$8 k^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.2.3.1.1.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.3.1.1.3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 k^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.2.3.1.1.3.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$8 k^{1} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.2.3.1.1.4

Vereinfache.

$8 k = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$8 k = \pm 1$

Schritt 3.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$8 k = 1$

Schritt 3.2.4.2

Teile jeden Ausdruck in $8 k = 1$ durch $8$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $8 k = 1$ durch $8$ .

$\frac{8 k}{8} = \frac{1}{8}$

Schritt 3.2.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 3.2.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 k}{8} = \frac{1}{8}$

Schritt 3.2.4.2.2.1.2

Dividiere $k$ durch $1$ .

$k = \frac{1}{8}$

Schritt 3.2.4.3

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$8 k = - 1$

Schritt 3.2.4.4

Teile jeden Ausdruck in $8 k = - 1$ durch $8$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $8 k = - 1$ durch $8$ .

$\frac{8 k}{8} = \frac{- 1}{8}$

Schritt 3.2.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 3.2.4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 k}{8} = \frac{- 1}{8}$

Schritt 3.2.4.4.2.1.2

Dividiere $k$ durch $1$ .

$k = \frac{- 1}{8}$

Schritt 3.2.4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.4.4.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$k = - \frac{1}{8}$

Schritt 3.2.4.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$k = \frac{1}{8}, - \frac{1}{8}$

Schritt 4

Setze $k^{\frac{2}{3}} - 16$ gleich $0$ und löse nach $k$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $k^{\frac{2}{3}} - 16$ gleich $0$ .

$k^{\frac{2}{3}} - 16 = 0$

Schritt 4.2

Löse $k^{\frac{2}{3}} - 16 = 0$ nach $k$ auf.

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Schritt 4.2.1

Addiere $16$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$k^{\frac{2}{3}} = 16$

Schritt 4.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{3}{2}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 16^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 4.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.3.1.1

Vereinfache ${(k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 4.2.3.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(k^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 4.2.3.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 16^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.2.3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.3.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$k^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 16^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.2.3.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$k^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 16^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.2.3.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.3.1.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$k^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 16^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.2.3.1.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$k^{1} = \pm 16^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.2.3.1.1.2

Vereinfache.

$k = \pm 16^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.2.1

Vereinfache $\pm 16^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 4.2.3.2.1.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.3.2.1.1.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$k = \pm {(4^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.2.3.2.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = \pm 4^{2 (\frac{3}{2})}$

Schritt 4.2.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$k = \pm 4^{2 (\frac{3}{2})}$

Schritt 4.2.3.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$k = \pm 4^{3}$

Schritt 4.2.3.2.1.3

Potenziere $4$ mit $3$ .

$k = \pm 64$

Schritt 4.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$k = 64$

Schritt 4.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$k = - 64$

Schritt 4.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$k = 64, - 64$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(4 k^{\frac{2}{3}} - 1) (k^{\frac{2}{3}} - 16) = 0$ wahr machen.

$k = \frac{1}{8}, - \frac{1}{8}, 64, - 64$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$k = \frac{1}{8}, - \frac{1}{8}, 64, - 64$

Dezimalform:

$k = 0.125, - 0.125, 64, - 64$