Grundlegende Mathematik Beispiele

$3 \cdot \sqrt{a} + a \cdot \sqrt{3} + a - 3 = 0$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $3 \cdot \sqrt{a}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $a \sqrt{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 \cdot \sqrt{a} + a - 3 = - a \sqrt{3}$

Schritt 1.2

Subtrahiere $a$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 \cdot \sqrt{a} - 3 = - a \sqrt{3} - a$

Schritt 1.3

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 \cdot \sqrt{a} = - a \sqrt{3} - a + 3$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(3 \cdot \sqrt{a})}^{2} = {(- a \sqrt{3} - a + 3)}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{a}$ als $a^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(3 \cdot a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a \sqrt{3} - a + 3)}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${(3 \cdot a^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $3 a^{\frac{1}{2}}$ an.

$3^{2} {(a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a \sqrt{3} - a + 3)}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$9 {(a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a \sqrt{3} - a + 3)}^{2}$

Schritt 3.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(a^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 a^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- a \sqrt{3} - a + 3)}^{2}$

Schritt 3.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 a^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- a \sqrt{3} - a + 3)}^{2}$

Schritt 3.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$9 a^{1} = {(- a \sqrt{3} - a + 3)}^{2}$

Schritt 3.2.1.4

Vereinfache.

$9 a = {(- a \sqrt{3} - a + 3)}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${(- a \sqrt{3} - a + 3)}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Schreibe ${(- a \sqrt{3} - a + 3)}^{2}$ als $(- a \sqrt{3} - a + 3) (- a \sqrt{3} - a + 3)$ um.

$9 a = (- a \sqrt{3} - a + 3) (- a \sqrt{3} - a + 3)$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $(- a \sqrt{3} - a + 3) (- a \sqrt{3} - a + 3)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$9 a = - a \sqrt{3} (- a \sqrt{3}) - a \sqrt{3} (- a) - a \sqrt{3} \cdot 3 - a (- a \sqrt{3}) - a (- a) - a \cdot 3 + 3 (- a \sqrt{3}) + 3 (- a) + 3 \cdot 3$

Schritt 3.3.1.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.3.1.1

Multipliziere $a$ mit $a$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.3.1.1.1

Bewege $a$ .

$9 a = - (a \cdot a) \sqrt{3} (- 1 \sqrt{3}) - a \sqrt{3} (- a) - a \sqrt{3} \cdot 3 - a (- a \sqrt{3}) - a (- a) - a \cdot 3 + 3 (- a \sqrt{3}) + 3 (- a) + 3 \cdot 3$

Schritt 3.3.1.3.1.1.2

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$9 a = - a^{2} \sqrt{3} (- 1 \sqrt{3}) - a \sqrt{3} (- a) - a \sqrt{3} \cdot 3 - a (- a \sqrt{3}) - a (- a) - a \cdot 3 + 3 (- a \sqrt{3}) + 3 (- a) + 3 \cdot 3$

Schritt 3.3.1.3.1.2

Schreibe $- 1 \sqrt{3}$ als $- \sqrt{3}$ um.

$9 a = - a^{2} \sqrt{3} (- \sqrt{3}) - a \sqrt{3} (- a) - a \sqrt{3} \cdot 3 - a (- a \sqrt{3}) - a (- a) - a \cdot 3 + 3 (- a \sqrt{3}) + 3 (- a) + 3 \cdot 3$

Schritt 3.3.1.3.1.3

Multipliziere $- a^{2} \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

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Schritt 3.3.1.3.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$9 a = 1 a^{2} \sqrt{3} \sqrt{3} - a \sqrt{3} (- a) - a \sqrt{3} \cdot 3 - a (- a \sqrt{3}) - a (- a) - a \cdot 3 + 3 (- a \sqrt{3}) + 3 (- a) + 3 \cdot 3$

Schritt 3.3.1.3.1.3.2

Mutltipliziere $a^{2}$ mit $1$ .

$9 a = a^{2} \sqrt{3} \sqrt{3} - a \sqrt{3} (- a) - a \sqrt{3} \cdot 3 - a (- a \sqrt{3}) - a (- a) - a \cdot 3 + 3 (- a \sqrt{3}) + 3 (- a) + 3 \cdot 3$

Schritt 3.3.1.3.1.3.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$9 a = a^{2} ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) - a \sqrt{3} (- a) - a \sqrt{3} \cdot 3 - a (- a \sqrt{3}) - a (- a) - a \cdot 3 + 3 (- a \sqrt{3}) + 3 (- a) + 3 \cdot 3$

Schritt 3.3.1.3.1.3.4

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$9 a = a^{2} ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) - a \sqrt{3} (- a) - a \sqrt{3} \cdot 3 - a (- a \sqrt{3}) - a (- a) - a \cdot 3 + 3 (- a \sqrt{3}) + 3 (- a) + 3 \cdot 3$

Schritt 3.3.1.3.1.3.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$9 a = a^{2} {\sqrt{3}}^{1 + 1} - a \sqrt{3} (- a) - a \sqrt{3} \cdot 3 - a (- a \sqrt{3}) - a (- a) - a \cdot 3 + 3 (- a \sqrt{3}) + 3 (- a) + 3 \cdot 3$

Schritt 3.3.1.3.1.3.6

Addiere $1$ und $1$ .

$9 a = a^{2} {\sqrt{3}}^{2} - a \sqrt{3} (- a) - a \sqrt{3} \cdot 3 - a (- a \sqrt{3}) - a (- a) - a \cdot 3 + 3 (- a \sqrt{3}) + 3 (- a) + 3 \cdot 3$

Schritt 3.3.1.3.1.4

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 3.3.1.3.1.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$9 a = a^{2} {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - a \sqrt{3} (- a) - a \sqrt{3} \cdot 3 - a (- a \sqrt{3}) - a (- a) - a \cdot 3 + 3 (- a \sqrt{3}) + 3 (- a) + 3 \cdot 3$

Schritt 3.3.1.3.1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 a = a^{2} \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - a \sqrt{3} (- a) - a \sqrt{3} \cdot 3 - a (- a \sqrt{3}) - a (- a) - a \cdot 3 + 3 (- a \sqrt{3}) + 3 (- a) + 3 \cdot 3$

Schritt 3.3.1.3.1.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$9 a = a^{2} \cdot 3^{\frac{2}{2}} - a \sqrt{3} (- a) - a \sqrt{3} \cdot 3 - a (- a \sqrt{3}) - a (- a) - a \cdot 3 + 3 (- a \sqrt{3}) + 3 (- a) + 3 \cdot 3$

Schritt 3.3.1.3.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.3.1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 a = a^{2} \cdot 3^{\frac{2}{2}} - a \sqrt{3} (- a) - a \sqrt{3} \cdot 3 - a (- a \sqrt{3}) - a (- a) - a \cdot 3 + 3 (- a \sqrt{3}) + 3 (- a) + 3 \cdot 3$

Schritt 3.3.1.3.1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$9 a = a^{2} \cdot 3^{1} - a \sqrt{3} (- a) - a \sqrt{3} \cdot 3 - a (- a \sqrt{3}) - a (- a) - a \cdot 3 + 3 (- a \sqrt{3}) + 3 (- a) + 3 \cdot 3$

Schritt 3.3.1.3.1.4.5

Berechne den Exponenten.

$9 a = a^{2} \cdot 3 - a \sqrt{3} (- a) - a \sqrt{3} \cdot 3 - a (- a \sqrt{3}) - a (- a) - a \cdot 3 + 3 (- a \sqrt{3}) + 3 (- a) + 3 \cdot 3$

Schritt 3.3.1.3.1.5

Bringe $3$ auf die linke Seite von $a^{2}$ .

$9 a = 3 \cdot a^{2} - a \sqrt{3} (- a) - a \sqrt{3} \cdot 3 - a (- a \sqrt{3}) - a (- a) - a \cdot 3 + 3 (- a \sqrt{3}) + 3 (- a) + 3 \cdot 3$

Schritt 3.3.1.3.1.6

Multipliziere $a$ mit $a$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.3.1.6.1

Bewege $a$ .

$9 a = 3 a^{2} - (a \cdot a) \sqrt{3} \cdot - 1 - a \sqrt{3} \cdot 3 - a (- a \sqrt{3}) - a (- a) - a \cdot 3 + 3 (- a \sqrt{3}) + 3 (- a) + 3 \cdot 3$

Schritt 3.3.1.3.1.6.2

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$9 a = 3 a^{2} - a^{2} \sqrt{3} \cdot - 1 - a \sqrt{3} \cdot 3 - a (- a \sqrt{3}) - a (- a) - a \cdot 3 + 3 (- a \sqrt{3}) + 3 (- a) + 3 \cdot 3$

Schritt 3.3.1.3.1.7

Multipliziere $- a^{2} \sqrt{3} \cdot - 1$ .

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Schritt 3.3.1.3.1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$9 a = 3 a^{2} + 1 a^{2} \sqrt{3} - a \sqrt{3} \cdot 3 - a (- a \sqrt{3}) - a (- a) - a \cdot 3 + 3 (- a \sqrt{3}) + 3 (- a) + 3 \cdot 3$

Schritt 3.3.1.3.1.7.2

Mutltipliziere $a^{2}$ mit $1$ .

$9 a = 3 a^{2} + a^{2} \sqrt{3} - a \sqrt{3} \cdot 3 - a (- a \sqrt{3}) - a (- a) - a \cdot 3 + 3 (- a \sqrt{3}) + 3 (- a) + 3 \cdot 3$

Schritt 3.3.1.3.1.8

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$9 a = 3 a^{2} + a^{2} \sqrt{3} - 3 a \sqrt{3} - a (- a \sqrt{3}) - a (- a) - a \cdot 3 + 3 (- a \sqrt{3}) + 3 (- a) + 3 \cdot 3$

Schritt 3.3.1.3.1.9

Multipliziere $a$ mit $a$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.3.1.9.1

Bewege $a$ .

$9 a = 3 a^{2} + a^{2} \sqrt{3} - 3 a \sqrt{3} - (a \cdot a) (- 1 \sqrt{3}) - a (- a) - a \cdot 3 + 3 (- a \sqrt{3}) + 3 (- a) + 3 \cdot 3$

Schritt 3.3.1.3.1.9.2

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$9 a = 3 a^{2} + a^{2} \sqrt{3} - 3 a \sqrt{3} - a^{2} (- 1 \sqrt{3}) - a (- a) - a \cdot 3 + 3 (- a \sqrt{3}) + 3 (- a) + 3 \cdot 3$

Schritt 3.3.1.3.1.10

Schreibe $- 1 \sqrt{3}$ als $- \sqrt{3}$ um.

$9 a = 3 a^{2} + a^{2} \sqrt{3} - 3 a \sqrt{3} - a^{2} (- \sqrt{3}) - a (- a) - a \cdot 3 + 3 (- a \sqrt{3}) + 3 (- a) + 3 \cdot 3$

Schritt 3.3.1.3.1.11

Multipliziere $- a^{2} (- \sqrt{3})$ .

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Schritt 3.3.1.3.1.11.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$9 a = 3 a^{2} + a^{2} \sqrt{3} - 3 a \sqrt{3} + 1 a^{2} \sqrt{3} - a (- a) - a \cdot 3 + 3 (- a \sqrt{3}) + 3 (- a) + 3 \cdot 3$

Schritt 3.3.1.3.1.11.2

Mutltipliziere $a^{2}$ mit $1$ .

$9 a = 3 a^{2} + a^{2} \sqrt{3} - 3 a \sqrt{3} + a^{2} \sqrt{3} - a (- a) - a \cdot 3 + 3 (- a \sqrt{3}) + 3 (- a) + 3 \cdot 3$

Schritt 3.3.1.3.1.12

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$9 a = 3 a^{2} + a^{2} \sqrt{3} - 3 a \sqrt{3} + a^{2} \sqrt{3} - 1 \cdot - 1 a \cdot a - a \cdot 3 + 3 (- a \sqrt{3}) + 3 (- a) + 3 \cdot 3$

Schritt 3.3.1.3.1.13

Multipliziere $a$ mit $a$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.3.1.13.1

Bewege $a$ .

$9 a = 3 a^{2} + a^{2} \sqrt{3} - 3 a \sqrt{3} + a^{2} \sqrt{3} - 1 \cdot - 1 (a \cdot a) - a \cdot 3 + 3 (- a \sqrt{3}) + 3 (- a) + 3 \cdot 3$

Schritt 3.3.1.3.1.13.2

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$9 a = 3 a^{2} + a^{2} \sqrt{3} - 3 a \sqrt{3} + a^{2} \sqrt{3} - 1 \cdot - 1 a^{2} - a \cdot 3 + 3 (- a \sqrt{3}) + 3 (- a) + 3 \cdot 3$

Schritt 3.3.1.3.1.14

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$9 a = 3 a^{2} + a^{2} \sqrt{3} - 3 a \sqrt{3} + a^{2} \sqrt{3} + 1 a^{2} - a \cdot 3 + 3 (- a \sqrt{3}) + 3 (- a) + 3 \cdot 3$

Schritt 3.3.1.3.1.15

Mutltipliziere $a^{2}$ mit $1$ .

$9 a = 3 a^{2} + a^{2} \sqrt{3} - 3 a \sqrt{3} + a^{2} \sqrt{3} + a^{2} - a \cdot 3 + 3 (- a \sqrt{3}) + 3 (- a) + 3 \cdot 3$

Schritt 3.3.1.3.1.16

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$9 a = 3 a^{2} + a^{2} \sqrt{3} - 3 a \sqrt{3} + a^{2} \sqrt{3} + a^{2} - 3 a + 3 (- a \sqrt{3}) + 3 (- a) + 3 \cdot 3$

Schritt 3.3.1.3.1.17

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$9 a = 3 a^{2} + a^{2} \sqrt{3} - 3 a \sqrt{3} + a^{2} \sqrt{3} + a^{2} - 3 a - 3 (a \sqrt{3}) + 3 (- a) + 3 \cdot 3$

Schritt 3.3.1.3.1.18

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$9 a = 3 a^{2} + a^{2} \sqrt{3} - 3 a \sqrt{3} + a^{2} \sqrt{3} + a^{2} - 3 a - 3 a \sqrt{3} - 3 a + 3 \cdot 3$

Schritt 3.3.1.3.1.19

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$9 a = 3 a^{2} + a^{2} \sqrt{3} - 3 a \sqrt{3} + a^{2} \sqrt{3} + a^{2} - 3 a - 3 a \sqrt{3} - 3 a + 9$

Schritt 3.3.1.3.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 3.3.1.3.2.1

Addiere $3 a^{2}$ und $a^{2}$ .

$9 a = 4 a^{2} + a^{2} \sqrt{3} - 3 a \sqrt{3} + a^{2} \sqrt{3} - 3 a - 3 a \sqrt{3} - 3 a + 9$

Schritt 3.3.1.3.2.2

Addiere $a^{2} \sqrt{3}$ und $a^{2} \sqrt{3}$ .

$9 a = 4 a^{2} + 2 a^{2} \sqrt{3} - 3 a \sqrt{3} - 3 a - 3 a \sqrt{3} - 3 a + 9$

Schritt 3.3.1.3.2.3

Subtrahiere $3 a \sqrt{3}$ von $- 3 a \sqrt{3}$ .

$9 a = 4 a^{2} + 2 a^{2} \sqrt{3} - 3 a - 6 a \sqrt{3} - 3 a + 9$

Schritt 3.3.1.3.2.4

Subtrahiere $3 a$ von $- 3 a$ .

$9 a = 4 a^{2} + 2 a^{2} \sqrt{3} - 6 a - 6 a \sqrt{3} + 9$

Schritt 4

Löse nach $a$ auf.

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Schritt 4.1

Da $a$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$4 a^{2} + 2 a^{2} \sqrt{3} - 6 a - 6 a \sqrt{3} + 9 = 9 a$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die $a$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $9 a$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 a^{2} + 2 a^{2} \sqrt{3} - 6 a - 6 a \sqrt{3} + 9 - 9 a = 0$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $9 a$ von $- 6 a$ .

$4 a^{2} + 2 a^{2} \sqrt{3} - 15 a - 6 a \sqrt{3} + 9 = 0$

Schritt 4.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Gruppiere die Terme um.

$2 a^{2} \sqrt{3} - 6 a \sqrt{3} + 4 a^{2} - 15 a + 9 = 0$

Schritt 4.3.2

Faktorisiere $2 a \sqrt{3}$ aus $2 a^{2} \sqrt{3} - 6 a \sqrt{3}$ heraus.

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Schritt 4.3.2.1

Faktorisiere $2 a \sqrt{3}$ aus $2 a^{2} \sqrt{3}$ heraus.

$2 a \sqrt{3} (a) - 6 a \sqrt{3} + 4 a^{2} - 15 a + 9 = 0$

Schritt 4.3.2.2

Faktorisiere $2 a \sqrt{3}$ aus $- 6 a \sqrt{3}$ heraus.

$2 a \sqrt{3} (a) + 2 a \sqrt{3} (- 3) + 4 a^{2} - 15 a + 9 = 0$

Schritt 4.3.2.3

Faktorisiere $2 a \sqrt{3}$ aus $2 a \sqrt{3} (a) + 2 a \sqrt{3} (- 3)$ heraus.

$2 a \sqrt{3} (a - 3) + 4 a^{2} - 15 a + 9 = 0$

Schritt 4.3.3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.3.3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 4 \cdot 9 = 36$ und deren Summe gleich $b = - 15$ ist.

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Schritt 4.3.3.1.1

Faktorisiere $- 15$ aus $- 15 a$ heraus.

$2 a \sqrt{3} (a - 3) + 4 a^{2} - 15 a + 9 = 0$

Schritt 4.3.3.1.2

Schreibe $- 15$ um als $- 3$ plus $- 12$

$2 a \sqrt{3} (a - 3) + 4 a^{2} + (- 3 - 12) a + 9 = 0$

Schritt 4.3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 a \sqrt{3} (a - 3) + 4 a^{2} - 3 a - 12 a + 9 = 0$

Schritt 4.3.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.3.3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$2 a \sqrt{3} (a - 3) + 4 a^{2} - 3 a - 12 a + 9 = 0$

Schritt 4.3.3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$2 a \sqrt{3} (a - 3) + a (4 a - 3) - 3 (4 a - 3) = 0$

Schritt 4.3.3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $4 a - 3$ .

$2 a \sqrt{3} (a - 3) + (4 a - 3) (a - 3) = 0$

Schritt 4.3.4

Faktorisiere $a - 3$ aus $2 a \sqrt{3} (a - 3) + (4 a - 3) (a - 3)$ heraus.

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Schritt 4.3.4.1

Faktorisiere $a - 3$ aus $2 a \sqrt{3} (a - 3)$ heraus.

$(a - 3) (2 a \sqrt{3}) + (4 a - 3) (a - 3) = 0$

Schritt 4.3.4.2

Faktorisiere $a - 3$ aus $(4 a - 3) (a - 3)$ heraus.

$(a - 3) (2 a \sqrt{3}) + (a - 3) (4 a - 3) = 0$

Schritt 4.3.4.3

Faktorisiere $a - 3$ aus $(a - 3) (2 a \sqrt{3}) + (a - 3) (4 a - 3)$ heraus.

$(a - 3) (2 a \sqrt{3} + 4 a - 3) = 0$

Schritt 4.3.5

Stelle die Terme um.

$(a - 3) (4 a + 2 a \sqrt{3} - 3) = 0$

Schritt 4.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$a - 3 = 0$

$4 a + 2 a \sqrt{3} - 3 = 0$

Schritt 4.5

Setze $a - 3$ gleich $0$ und löse nach $a$ auf.

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Schritt 4.5.1

Setze $a - 3$ gleich $0$ .

$a - 3 = 0$

Schritt 4.5.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$a = 3$

Schritt 4.6

Setze $4 a + 2 a \sqrt{3} - 3$ gleich $0$ und löse nach $a$ auf.

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Schritt 4.6.1

Setze $4 a + 2 a \sqrt{3} - 3$ gleich $0$ .

$4 a + 2 a \sqrt{3} - 3 = 0$

Schritt 4.6.2

Löse $4 a + 2 a \sqrt{3} - 3 = 0$ nach $a$ auf.

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Schritt 4.6.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 a + 2 a \sqrt{3} = 3$

Schritt 4.6.2.2

Faktorisiere $2 a$ aus $4 a + 2 a \sqrt{3}$ heraus.

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Schritt 4.6.2.2.1

Faktorisiere $2 a$ aus $4 a$ heraus.

$2 a (2) + 2 a \sqrt{3} = 3$

Schritt 4.6.2.2.2

Faktorisiere $2 a$ aus $2 a \sqrt{3}$ heraus.

$2 a (2) + 2 a (\sqrt{3}) = 3$

Schritt 4.6.2.2.3

Faktorisiere $2 a$ aus $2 a (2) + 2 a (\sqrt{3})$ heraus.

$2 a (2 + \sqrt{3}) = 3$

Schritt 4.6.2.3

Teile jeden Ausdruck in $2 a (2 + \sqrt{3}) = 3$ durch $4 + 2 \sqrt{3}$ und vereinfache.

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Schritt 4.6.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 a (2 + \sqrt{3}) = 3$ durch $4 + 2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 a (2 + \sqrt{3})}{4 + 2 \sqrt{3}} = \frac{3}{4 + 2 \sqrt{3}}$

Schritt 4.6.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.6.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4 + 2 \sqrt{3}$ .

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Schritt 4.6.2.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 a (2 + \sqrt{3})$ heraus.

$\frac{2 (a (2 + \sqrt{3}))}{4 + 2 \sqrt{3}} = \frac{3}{4 + 2 \sqrt{3}}$

Schritt 4.6.2.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.6.2.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 (a (2 + \sqrt{3}))}{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3}} = \frac{3}{4 + 2 \sqrt{3}}$

Schritt 4.6.2.3.2.1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{2 (a (2 + \sqrt{3}))}{2 \cdot 2 + 2 (\sqrt{3})} = \frac{3}{4 + 2 \sqrt{3}}$

Schritt 4.6.2.3.2.1.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 2 + 2 (\sqrt{3})$ heraus.

$\frac{2 (a (2 + \sqrt{3}))}{2 \cdot (2 + \sqrt{3})} = \frac{3}{4 + 2 \sqrt{3}}$

Schritt 4.6.2.3.2.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (a (2 + \sqrt{3}))}{2 \cdot (2 + \sqrt{3})} = \frac{3}{4 + 2 \sqrt{3}}$

Schritt 4.6.2.3.2.1.2.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{a (2 + \sqrt{3})}{2 + \sqrt{3}} = \frac{3}{4 + 2 \sqrt{3}}$

Schritt 4.6.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 + \sqrt{3}$ .

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Schritt 4.6.2.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a (2 + \sqrt{3})}{2 + \sqrt{3}} = \frac{3}{4 + 2 \sqrt{3}}$

Schritt 4.6.2.3.2.2.2

Dividiere $a$ durch $1$ .

$a = \frac{3}{4 + 2 \sqrt{3}}$

Schritt 4.6.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.6.2.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{3}{4 + 2 \sqrt{3}}$ mit $\frac{4 - 2 \sqrt{3}}{4 - 2 \sqrt{3}}$ .

$a = \frac{3}{4 + 2 \sqrt{3}} \cdot \frac{4 - 2 \sqrt{3}}{4 - 2 \sqrt{3}}$

Schritt 4.6.2.3.3.2

Mutltipliziere $\frac{3}{4 + 2 \sqrt{3}}$ mit $\frac{4 - 2 \sqrt{3}}{4 - 2 \sqrt{3}}$ .

$a = \frac{3 (4 - 2 \sqrt{3})}{(4 + 2 \sqrt{3}) (4 - 2 \sqrt{3})}$

Schritt 4.6.2.3.3.3

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$a = \frac{3 (4 - 2 \sqrt{3})}{16 - 8 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} - 4 {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 4.6.2.3.3.4

Vereinfache.

$a = \frac{3 (4 - 2 \sqrt{3})}{4}$

Schritt 4.6.2.3.3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4 - 2 \sqrt{3}$ und $4$ .

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Schritt 4.6.2.3.3.5.1

Faktorisiere $2$ aus $3 (4 - 2 \sqrt{3})$ heraus.

$a = \frac{2 (3 (2 - \sqrt{3}))}{4}$

Schritt 4.6.2.3.3.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.6.2.3.3.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$a = \frac{2 (3 (2 - \sqrt{3}))}{2 (2)}$

Schritt 4.6.2.3.3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$a = \frac{2 (3 (2 - \sqrt{3}))}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.6.2.3.3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$a = \frac{3 (2 - \sqrt{3})}{2}$

Schritt 4.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(a - 3) (4 a + 2 a \sqrt{3} - 3) = 0$ wahr machen.

$a = 3, \frac{3 (2 - \sqrt{3})}{2}$

Schritt 5

Schließe die Lösungen aus, die $3 \cdot \sqrt{a} + a \cdot \sqrt{3} + a - 3 = 0$ nicht erfüllen.

$a = \frac{3 (2 - \sqrt{3})}{2}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$a = \frac{3 (2 - \sqrt{3})}{2}$

Dezimalform:

$a = 0.40192378 \dots$