Grundlegende Mathematik Beispiele

$\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{45}$

Schritt 1

Löse nach $\sqrt{a}$ auf.

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Schritt 1.1

Vereinfache $\sqrt{45}$ .

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Schritt 1.1.1

Schreibe $45$ als $3^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 1.1.1.1

Faktorisiere $9$ aus $45$ heraus.

$\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{9 (5)}$

Schritt 1.1.1.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{3^{2} \cdot 5}$

Schritt 1.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\sqrt{a} + \sqrt{b} = 3 \sqrt{5}$

Schritt 1.2

Subtrahiere $\sqrt{b}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{a} = 3 \sqrt{5} - \sqrt{b}$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{a}}^{2} = {(3 \sqrt{5} - \sqrt{b})}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{a}$ als $a^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 \sqrt{5} - \sqrt{b})}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${(a^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(a^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 \sqrt{5} - \sqrt{b})}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$a^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 \sqrt{5} - \sqrt{b})}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$a^{1} = {(3 \sqrt{5} - \sqrt{b})}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache.

$a = {(3 \sqrt{5} - \sqrt{b})}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${(3 \sqrt{5} - \sqrt{b})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Schreibe ${(3 \sqrt{5} - \sqrt{b})}^{2}$ als $(3 \sqrt{5} - \sqrt{b}) (3 \sqrt{5} - \sqrt{b})$ um.

$a = (3 \sqrt{5} - \sqrt{b}) (3 \sqrt{5} - \sqrt{b})$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $(3 \sqrt{5} - \sqrt{b}) (3 \sqrt{5} - \sqrt{b})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$a = 3 \sqrt{5} (3 \sqrt{5} - \sqrt{b}) - \sqrt{b} (3 \sqrt{5} - \sqrt{b})$

Schritt 3.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$a = 3 \sqrt{5} (3 \sqrt{5}) + 3 \sqrt{5} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} (3 \sqrt{5} - \sqrt{b})$

Schritt 3.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$a = 3 \sqrt{5} (3 \sqrt{5}) + 3 \sqrt{5} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} (3 \sqrt{5}) - \sqrt{b} (- \sqrt{b})$

Schritt 3.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.3.1.1

Multipliziere $3 \sqrt{5} (3 \sqrt{5})$ .

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Schritt 3.3.1.3.1.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$a = 9 \sqrt{5} \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} (3 \sqrt{5}) - \sqrt{b} (- \sqrt{b})$

Schritt 3.3.1.3.1.1.2

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$a = 9 ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}) + 3 \sqrt{5} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} (3 \sqrt{5}) - \sqrt{b} (- \sqrt{b})$

Schritt 3.3.1.3.1.1.3

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$a = 9 ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}) + 3 \sqrt{5} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} (3 \sqrt{5}) - \sqrt{b} (- \sqrt{b})$

Schritt 3.3.1.3.1.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$a = 9 {\sqrt{5}}^{1 + 1} + 3 \sqrt{5} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} (3 \sqrt{5}) - \sqrt{b} (- \sqrt{b})$

Schritt 3.3.1.3.1.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$a = 9 {\sqrt{5}}^{2} + 3 \sqrt{5} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} (3 \sqrt{5}) - \sqrt{b} (- \sqrt{b})$

Schritt 3.3.1.3.1.2

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 3.3.1.3.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$a = 9 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + 3 \sqrt{5} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} (3 \sqrt{5}) - \sqrt{b} (- \sqrt{b})$

Schritt 3.3.1.3.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a = 9 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 3 \sqrt{5} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} (3 \sqrt{5}) - \sqrt{b} (- \sqrt{b})$

Schritt 3.3.1.3.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$a = 9 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + 3 \sqrt{5} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} (3 \sqrt{5}) - \sqrt{b} (- \sqrt{b})$

Schritt 3.3.1.3.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.3.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$a = 9 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + 3 \sqrt{5} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} (3 \sqrt{5}) - \sqrt{b} (- \sqrt{b})$

Schritt 3.3.1.3.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$a = 9 \cdot 5^{1} + 3 \sqrt{5} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} (3 \sqrt{5}) - \sqrt{b} (- \sqrt{b})$

Schritt 3.3.1.3.1.2.5

Berechne den Exponenten.

$a = 9 \cdot 5 + 3 \sqrt{5} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} (3 \sqrt{5}) - \sqrt{b} (- \sqrt{b})$

Schritt 3.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $9$ mit $5$ .

$a = 45 + 3 \sqrt{5} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} (3 \sqrt{5}) - \sqrt{b} (- \sqrt{b})$

Schritt 3.3.1.3.1.4

Multipliziere $3 \sqrt{5} (- \sqrt{b})$ .

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Schritt 3.3.1.3.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$a = 45 - 3 \sqrt{5} \sqrt{b} - \sqrt{b} (3 \sqrt{5}) - \sqrt{b} (- \sqrt{b})$

Schritt 3.3.1.3.1.4.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$a = 45 - 3 \sqrt{b \cdot 5} - \sqrt{b} (3 \sqrt{5}) - \sqrt{b} (- \sqrt{b})$

Schritt 3.3.1.3.1.5

Multipliziere $- \sqrt{b} (3 \sqrt{5})$ .

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Schritt 3.3.1.3.1.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$a = 45 - 3 \sqrt{b \cdot 5} - 3 \sqrt{b} \sqrt{5} - \sqrt{b} (- \sqrt{b})$

Schritt 3.3.1.3.1.5.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$a = 45 - 3 \sqrt{b \cdot 5} - 3 \sqrt{5 b} - \sqrt{b} (- \sqrt{b})$

Schritt 3.3.1.3.1.6

Multipliziere $- \sqrt{b} (- \sqrt{b})$ .

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Schritt 3.3.1.3.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$a = 45 - 3 \sqrt{b \cdot 5} - 3 \sqrt{5 b} + 1 \sqrt{b} \sqrt{b}$

Schritt 3.3.1.3.1.6.2

Mutltipliziere $\sqrt{b}$ mit $1$ .

$a = 45 - 3 \sqrt{b \cdot 5} - 3 \sqrt{5 b} + \sqrt{b} \sqrt{b}$

Schritt 3.3.1.3.1.6.3

Potenziere $\sqrt{b}$ mit $1$ .

$a = 45 - 3 \sqrt{b \cdot 5} - 3 \sqrt{5 b} + {\sqrt{b}}^{1} \sqrt{b}$

Schritt 3.3.1.3.1.6.4

Potenziere $\sqrt{b}$ mit $1$ .

$a = 45 - 3 \sqrt{b \cdot 5} - 3 \sqrt{5 b} + {\sqrt{b}}^{1} {\sqrt{b}}^{1}$

Schritt 3.3.1.3.1.6.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$a = 45 - 3 \sqrt{b \cdot 5} - 3 \sqrt{5 b} + {\sqrt{b}}^{1 + 1}$

Schritt 3.3.1.3.1.6.6

Addiere $1$ und $1$ .

$a = 45 - 3 \sqrt{b \cdot 5} - 3 \sqrt{5 b} + {\sqrt{b}}^{2}$

Schritt 3.3.1.3.1.7

Schreibe ${\sqrt{b}}^{2}$ als $b$ um.

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Schritt 3.3.1.3.1.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{b}$ als $b^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$a = 45 - 3 \sqrt{b \cdot 5} - 3 \sqrt{5 b} + {(b^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 3.3.1.3.1.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a = 45 - 3 \sqrt{b \cdot 5} - 3 \sqrt{5 b} + b^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 3.3.1.3.1.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$a = 45 - 3 \sqrt{b \cdot 5} - 3 \sqrt{5 b} + b^{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.3.1.3.1.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.3.1.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$a = 45 - 3 \sqrt{b \cdot 5} - 3 \sqrt{5 b} + b^{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.3.1.3.1.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$a = 45 - 3 \sqrt{b \cdot 5} - 3 \sqrt{5 b} + b^{1}$

Schritt 3.3.1.3.1.7.5

Vereinfache.

$a = 45 - 3 \sqrt{b \cdot 5} - 3 \sqrt{5 b} + b$

Schritt 3.3.1.3.2

Subtrahiere $3 \sqrt{5 b}$ von $- 3 \sqrt{b \cdot 5}$ .

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Schritt 3.3.1.3.2.1

Stelle $b$ und $5$ um.

$a = 45 - 3 \sqrt{5 \cdot b} - 3 \sqrt{5 b} + b$

Schritt 3.3.1.3.2.2

Subtrahiere $3 \sqrt{5 b}$ von $- 3 \sqrt{5 \cdot b}$ .

$a = 45 - 6 \sqrt{5 \cdot b} + b$