Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{a + b}{a - b} + \frac{a - b}{a + b} = 6$

Schritt 1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$a - b, a + b, 1$

Schritt 1.2

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 1.3

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 1.4

Das kgV von $1, 1, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$1$

Schritt 1.5

Der Teiler von $a - b$ ist $a - b$ selbst.

$(a - b) = a - b$

$(a - b)$ occurs $1$ time.

Schritt 1.6

Der Teiler von $a + b$ ist $a + b$ selbst.

$(a + b) = a + b$

$(a + b)$ occurs $1$ time.

Schritt 1.7

Das kgV von $a - b, a + b$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Faktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$(a - b) (a + b)$

Schritt 2

Multipliziere jeden Term in $\frac{a + b}{a - b} + \frac{a - b}{a + b} = 6$ mit $(a - b) (a + b)$ um die Brüche zu eliminieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{a + b}{a - b} + \frac{a - b}{a + b} = 6$ mit $(a - b) (a + b)$ .

$\frac{a + b}{a - b} ((a - b) (a + b)) + \frac{a - b}{a + b} ((a - b) (a + b)) = 6 ((a - b) (a + b))$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a - b$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a + b}{a - b} ((a - b) (a + b)) + \frac{a - b}{a + b} ((a - b) (a + b)) = 6 ((a - b) (a + b))$

Schritt 2.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$(a + b) (a + b) + \frac{a - b}{a + b} ((a - b) (a + b)) = 6 ((a - b) (a + b))$

Schritt 2.2.1.2

Potenziere $a + b$ mit $1$ .

${(a + b)}^{1} (a + b) + \frac{a - b}{a + b} ((a - b) (a + b)) = 6 ((a - b) (a + b))$

Schritt 2.2.1.3

Potenziere $a + b$ mit $1$ .

${(a + b)}^{1} {(a + b)}^{1} + \frac{a - b}{a + b} ((a - b) (a + b)) = 6 ((a - b) (a + b))$

Schritt 2.2.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(a + b)}^{1 + 1} + \frac{a - b}{a + b} ((a - b) (a + b)) = 6 ((a - b) (a + b))$

Schritt 2.2.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

${(a + b)}^{2} + \frac{a - b}{a + b} ((a - b) (a + b)) = 6 ((a - b) (a + b))$

Schritt 2.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a + b$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.6.1

Faktorisiere $a + b$ aus $(a - b) (a + b)$ heraus.

${(a + b)}^{2} + \frac{a - b}{a + b} ((a + b) (a - b)) = 6 ((a - b) (a + b))$

Schritt 2.2.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(a + b)}^{2} + \frac{a - b}{a + b} ((a + b) (a - b)) = 6 ((a - b) (a + b))$

Schritt 2.2.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

${(a + b)}^{2} + (a - b) (a - b) = 6 ((a - b) (a + b))$

Schritt 2.2.1.7

Potenziere $a - b$ mit $1$ .

${(a + b)}^{2} + {(a - b)}^{1} (a - b) = 6 ((a - b) (a + b))$

Schritt 2.2.1.8

Potenziere $a - b$ mit $1$ .

${(a + b)}^{2} + {(a - b)}^{1} {(a - b)}^{1} = 6 ((a - b) (a + b))$

Schritt 2.2.1.9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(a + b)}^{2} + {(a - b)}^{1 + 1} = 6 ((a - b) (a + b))$

Schritt 2.2.1.10

Addiere $1$ und $1$ .

${(a + b)}^{2} + {(a - b)}^{2} = 6 ((a - b) (a + b))$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Multipliziere $(a - b) (a + b)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

${(a + b)}^{2} + {(a - b)}^{2} = 6 (a (a + b) - b (a + b))$

Schritt 2.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

${(a + b)}^{2} + {(a - b)}^{2} = 6 (a \cdot a + a b - b (a + b))$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

${(a + b)}^{2} + {(a - b)}^{2} = 6 (a \cdot a + a b - b a - b \cdot b)$

Schritt 2.3.2

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $a \cdot a + a b - b a - b \cdot b$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $a b$ und $- b a$ neu an.

${(a + b)}^{2} + {(a - b)}^{2} = 6 (a \cdot a + a b - a b - b \cdot b)$

Schritt 2.3.2.1.2

Subtrahiere $a b$ von $a b$ .

${(a + b)}^{2} + {(a - b)}^{2} = 6 (a \cdot a + 0 - b \cdot b)$

Schritt 2.3.2.1.3

Addiere $a \cdot a$ und $0$ .

${(a + b)}^{2} + {(a - b)}^{2} = 6 (a \cdot a - b \cdot b)$

Schritt 2.3.2.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.2.1

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

${(a + b)}^{2} + {(a - b)}^{2} = 6 (a^{2} - b \cdot b)$

Schritt 2.3.2.2.2

Multipliziere $b$ mit $b$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.2.2.1

Bewege $b$ .

${(a + b)}^{2} + {(a - b)}^{2} = 6 (a^{2} - (b \cdot b))$

Schritt 2.3.2.2.2.2

Mutltipliziere $b$ mit $b$ .

${(a + b)}^{2} + {(a - b)}^{2} = 6 (a^{2} - b^{2})$

Schritt 2.3.2.3

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

${(a + b)}^{2} + {(a - b)}^{2} = 6 a^{2} + 6 (- b^{2})$

Schritt 2.3.2.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

${(a + b)}^{2} + {(a - b)}^{2} = 6 a^{2} - 6 b^{2}$

Schritt 3

Löse die Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die $a$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Subtrahiere $6 a^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

${(a + b)}^{2} + {(a - b)}^{2} - 6 a^{2} = - 6 b^{2}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1

Schreibe ${(a + b)}^{2}$ als $(a + b) (a + b)$ um.

$(a + b) (a + b) + {(a - b)}^{2} - 6 a^{2} = - 6 b^{2}$

Schritt 3.1.2.2

Multipliziere $(a + b) (a + b)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$a (a + b) + b (a + b) + {(a - b)}^{2} - 6 a^{2} = - 6 b^{2}$

Schritt 3.1.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$a \cdot a + a b + b (a + b) + {(a - b)}^{2} - 6 a^{2} = - 6 b^{2}$

Schritt 3.1.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$a \cdot a + a b + b a + b \cdot b + {(a - b)}^{2} - 6 a^{2} = - 6 b^{2}$

Schritt 3.1.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.3.1.1

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$a^{2} + a b + b a + b \cdot b + {(a - b)}^{2} - 6 a^{2} = - 6 b^{2}$

Schritt 3.1.2.3.1.2

Mutltipliziere $b$ mit $b$ .

$a^{2} + a b + b a + b^{2} + {(a - b)}^{2} - 6 a^{2} = - 6 b^{2}$

Schritt 3.1.2.3.2

Addiere $a b$ und $b a$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.3.2.1

Stelle $b$ und $a$ um.

$a^{2} + a b + a b + b^{2} + {(a - b)}^{2} - 6 a^{2} = - 6 b^{2}$

Schritt 3.1.2.3.2.2

Addiere $a b$ und $a b$ .

$a^{2} + 2 a b + b^{2} + {(a - b)}^{2} - 6 a^{2} = - 6 b^{2}$

Schritt 3.1.2.4

Schreibe ${(a - b)}^{2}$ als $(a - b) (a - b)$ um.

$a^{2} + 2 a b + b^{2} + (a - b) (a - b) - 6 a^{2} = - 6 b^{2}$

Schritt 3.1.2.5

Multipliziere $(a - b) (a - b)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$a^{2} + 2 a b + b^{2} + a (a - b) - b (a - b) - 6 a^{2} = - 6 b^{2}$

Schritt 3.1.2.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$a^{2} + 2 a b + b^{2} + a \cdot a + a (- b) - b (a - b) - 6 a^{2} = - 6 b^{2}$

Schritt 3.1.2.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$a^{2} + 2 a b + b^{2} + a \cdot a + a (- b) - b a - b (- b) - 6 a^{2} = - 6 b^{2}$

Schritt 3.1.2.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.6.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.6.1.1

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$a^{2} + 2 a b + b^{2} + a^{2} + a (- b) - b a - b (- b) - 6 a^{2} = - 6 b^{2}$

Schritt 3.1.2.6.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$a^{2} + 2 a b + b^{2} + a^{2} - a b - b a - b (- b) - 6 a^{2} = - 6 b^{2}$

Schritt 3.1.2.6.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$a^{2} + 2 a b + b^{2} + a^{2} - a b - b a - 1 \cdot - 1 b \cdot b - 6 a^{2} = - 6 b^{2}$

Schritt 3.1.2.6.1.4

Multipliziere $b$ mit $b$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.6.1.4.1

Bewege $b$ .

$a^{2} + 2 a b + b^{2} + a^{2} - a b - b a - 1 \cdot - 1 (b \cdot b) - 6 a^{2} = - 6 b^{2}$

Schritt 3.1.2.6.1.4.2

Mutltipliziere $b$ mit $b$ .

$a^{2} + 2 a b + b^{2} + a^{2} - a b - b a - 1 \cdot - 1 b^{2} - 6 a^{2} = - 6 b^{2}$

Schritt 3.1.2.6.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$a^{2} + 2 a b + b^{2} + a^{2} - a b - b a + 1 b^{2} - 6 a^{2} = - 6 b^{2}$

Schritt 3.1.2.6.1.6

Mutltipliziere $b^{2}$ mit $1$ .

$a^{2} + 2 a b + b^{2} + a^{2} - a b - b a + b^{2} - 6 a^{2} = - 6 b^{2}$

Schritt 3.1.2.6.2

Subtrahiere $b a$ von $- a b$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.6.2.1

Bewege $b$ .

$a^{2} + 2 a b + b^{2} + a^{2} - a b - 1 a b + b^{2} - 6 a^{2} = - 6 b^{2}$

Schritt 3.1.2.6.2.2

Subtrahiere $a b$ von $- a b$ .

$a^{2} + 2 a b + b^{2} + a^{2} - 2 a b + b^{2} - 6 a^{2} = - 6 b^{2}$

Schritt 3.1.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $a^{2} + 2 a b + b^{2} + a^{2} - 2 a b + b^{2} - 6 a^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.3.1

Subtrahiere $2 a b$ von $2 a b$ .

$a^{2} + b^{2} + a^{2} + 0 + b^{2} - 6 a^{2} = - 6 b^{2}$

Schritt 3.1.3.2

Addiere $a^{2} + b^{2} + a^{2}$ und $0$ .

$a^{2} + b^{2} + a^{2} + b^{2} - 6 a^{2} = - 6 b^{2}$

Schritt 3.1.4

Addiere $a^{2}$ und $a^{2}$ .

$2 a^{2} + b^{2} + b^{2} - 6 a^{2} = - 6 b^{2}$

Schritt 3.1.5

Subtrahiere $6 a^{2}$ von $2 a^{2}$ .

$- 4 a^{2} + b^{2} + b^{2} = - 6 b^{2}$

Schritt 3.1.6

Addiere $b^{2}$ und $b^{2}$ .

$- 4 a^{2} + 2 b^{2} = - 6 b^{2}$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme, die nicht $a$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Subtrahiere $2 b^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 a^{2} = - 6 b^{2} - 2 b^{2}$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $2 b^{2}$ von $- 6 b^{2}$ .

$- 4 a^{2} = - 8 b^{2}$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $- 4 a^{2} = - 8 b^{2}$ durch $- 4$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 a^{2} = - 8 b^{2}$ durch $- 4$ .

$\frac{- 4 a^{2}}{- 4} = \frac{- 8 b^{2}}{- 4}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 a^{2}}{- 4} = \frac{- 8 b^{2}}{- 4}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $a^{2}$ durch $1$ .

$a^{2} = \frac{- 8 b^{2}}{- 4}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8$ und $- 4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus $- 8 b^{2}$ heraus.

$a^{2} = \frac{- 4 (2 b^{2})}{- 4}$

Schritt 3.3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.1.2.1

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4$ heraus.

$a^{2} = \frac{- 4 (2 b^{2})}{- 4 (1)}$

Schritt 3.3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$a^{2} = \frac{- 4 (2 b^{2})}{- 4 \cdot 1}$

Schritt 3.3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$a^{2} = \frac{2 b^{2}}{1}$

Schritt 3.3.3.1.2.4

Dividiere $2 b^{2}$ durch $1$ .

$a^{2} = 2 b^{2}$

Schritt 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$a = \pm \sqrt{2 b^{2}}$

Schritt 3.5

Vereinfache $\pm \sqrt{2 b^{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1

Stelle $2$ und $b^{2}$ um.

$a = \pm \sqrt{b^{2} \cdot 2}$

Schritt 3.5.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$a = \pm b \sqrt{2}$

Schritt 3.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$a = b \sqrt{2}$

Schritt 3.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$a = - b \sqrt{2}$

Schritt 3.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$a = b \sqrt{2}$

$a = - b \sqrt{2}$

$a = b \sqrt{2}$

$a = - b \sqrt{2}$

$a = b \sqrt{2}$

$a = - b \sqrt{2}$