Grundlegende Mathematik Beispiele

$\sqrt{2 c - 1} = 2 c - 7$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{2 c - 1}}^{2} = {(2 c - 7)}^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 c - 1}$ als ${(2 c - 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(2 c - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 c - 7)}^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${({(2 c - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 c - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 c - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 c - 7)}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(2 c - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 c - 7)}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(2 c - 1)}^{1} = {(2 c - 7)}^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

$2 c - 1 = {(2 c - 7)}^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache ${(2 c - 7)}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Schreibe ${(2 c - 7)}^{2}$ als $(2 c - 7) (2 c - 7)$ um.

$2 c - 1 = (2 c - 7) (2 c - 7)$

Schritt 2.3.1.2

Multipliziere $(2 c - 7) (2 c - 7)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 c - 1 = 2 c (2 c - 7) - 7 (2 c - 7)$

Schritt 2.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 c - 1 = 2 c (2 c) + 2 c \cdot - 7 - 7 (2 c - 7)$

Schritt 2.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 c - 1 = 2 c (2 c) + 2 c \cdot - 7 - 7 (2 c) - 7 \cdot - 7$

Schritt 2.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 c - 1 = 2 \cdot 2 c \cdot c + 2 c \cdot - 7 - 7 (2 c) - 7 \cdot - 7$

Schritt 2.3.1.3.1.2

Multipliziere $c$ mit $c$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.1.3.1.2.1

Bewege $c$ .

$2 c - 1 = 2 \cdot 2 (c \cdot c) + 2 c \cdot - 7 - 7 (2 c) - 7 \cdot - 7$

Schritt 2.3.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $c$ mit $c$ .

$2 c - 1 = 2 \cdot 2 c^{2} + 2 c \cdot - 7 - 7 (2 c) - 7 \cdot - 7$

Schritt 2.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 c - 1 = 4 c^{2} + 2 c \cdot - 7 - 7 (2 c) - 7 \cdot - 7$

Schritt 2.3.1.3.1.4

Mutltipliziere $- 7$ mit $2$ .

$2 c - 1 = 4 c^{2} - 14 c - 7 (2 c) - 7 \cdot - 7$

Schritt 2.3.1.3.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 7$ .

$2 c - 1 = 4 c^{2} - 14 c - 14 c - 7 \cdot - 7$

Schritt 2.3.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 7$ .

$2 c - 1 = 4 c^{2} - 14 c - 14 c + 49$

Schritt 2.3.1.3.2

Subtrahiere $14 c$ von $- 14 c$ .

$2 c - 1 = 4 c^{2} - 28 c + 49$

Schritt 3

Löse nach $c$ auf.

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Schritt 3.1

Da $c$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$4 c^{2} - 28 c + 49 = 2 c - 1$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme, die $c$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $2 c$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 c^{2} - 28 c + 49 - 2 c = - 1$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $2 c$ von $- 28 c$ .

$4 c^{2} - 30 c + 49 = - 1$

Schritt 3.3

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 c^{2} - 30 c + 49 + 1 = 0$

Schritt 3.4

Addiere $49$ und $1$ .

$4 c^{2} - 30 c + 50 = 0$

Schritt 3.5

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.5.1

Faktorisiere $2$ aus $4 c^{2} - 30 c + 50$ heraus.

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Schritt 3.5.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4 c^{2}$ heraus.

$2 (2 c^{2}) - 30 c + 50 = 0$

Schritt 3.5.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 30 c$ heraus.

$2 (2 c^{2}) + 2 (- 15 c) + 50 = 0$

Schritt 3.5.1.3

Faktorisiere $2$ aus $50$ heraus.

$2 (2 c^{2}) + 2 (- 15 c) + 2 (25) = 0$

Schritt 3.5.1.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 c^{2}) + 2 (- 15 c)$ heraus.

$2 (2 c^{2} - 15 c) + 2 (25) = 0$

Schritt 3.5.1.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 c^{2} - 15 c) + 2 (25)$ heraus.

$2 (2 c^{2} - 15 c + 25) = 0$

Schritt 3.5.2

Faktorisiere.

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Schritt 3.5.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.5.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot 25 = 50$ und deren Summe gleich $b = - 15$ ist.

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Schritt 3.5.2.1.1.1

Faktorisiere $- 15$ aus $- 15 c$ heraus.

$2 (2 c^{2} - 15 c + 25) = 0$

Schritt 3.5.2.1.1.2

Schreibe $- 15$ um als $- 5$ plus $- 10$

$2 (2 c^{2} + (- 5 - 10) c + 25) = 0$

Schritt 3.5.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (2 c^{2} - 5 c - 10 c + 25) = 0$

Schritt 3.5.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.5.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$2 ((2 c^{2} - 5 c) - 10 c + 25) = 0$

Schritt 3.5.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$2 (c (2 c - 5) - 5 (2 c - 5)) = 0$

Schritt 3.5.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 c - 5$ .

$2 ((2 c - 5) (c - 5)) = 0$

Schritt 3.5.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 (2 c - 5) (c - 5) = 0$

Schritt 3.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 c - 5 = 0$

$c - 5 = 0$

Schritt 3.7

Setze $2 c - 5$ gleich $0$ und löse nach $c$ auf.

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Schritt 3.7.1

Setze $2 c - 5$ gleich $0$ .

$2 c - 5 = 0$

Schritt 3.7.2

Löse $2 c - 5 = 0$ nach $c$ auf.

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Schritt 3.7.2.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 c = 5$

Schritt 3.7.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 c = 5$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.7.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 c = 5$ durch $2$ .

$\frac{2 c}{2} = \frac{5}{2}$

Schritt 3.7.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.7.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.7.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 c}{2} = \frac{5}{2}$

Schritt 3.7.2.2.2.1.2

Dividiere $c$ durch $1$ .

$c = \frac{5}{2}$

Schritt 3.8

Setze $c - 5$ gleich $0$ und löse nach $c$ auf.

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Schritt 3.8.1

Setze $c - 5$ gleich $0$ .

$c - 5 = 0$

Schritt 3.8.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$c = 5$

Schritt 3.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 (2 c - 5) (c - 5) = 0$ wahr machen.

$c = \frac{5}{2}, 5$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\sqrt{2 c - 1} = 2 c - 7$ nicht erfüllen.

$c = 5$