Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{2 n - 3}{n + 1} \cdot \frac{2 n^{2} + 5 n + 3}{9 - 4 n^{2}}$

Schritt 1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot 3 = 6$ und deren Summe gleich $b = 5$ ist.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $5$ aus $5 n$ heraus.

$\frac{2 n - 3}{n + 1} \cdot \frac{2 n^{2} + 5 (n) + 3}{9 - 4 n^{2}}$

Schritt 1.1.2

Schreibe $5$ um als $2$ plus $3$

$\frac{2 n - 3}{n + 1} \cdot \frac{2 n^{2} + (2 + 3) n + 3}{9 - 4 n^{2}}$

Schritt 1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 n - 3}{n + 1} \cdot \frac{2 n^{2} + 2 n + 3 n + 3}{9 - 4 n^{2}}$

Schritt 1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{2 n - 3}{n + 1} \cdot \frac{(2 n^{2} + 2 n) + 3 n + 3}{9 - 4 n^{2}}$

Schritt 1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{2 n - 3}{n + 1} \cdot \frac{2 n (n + 1) + 3 (n + 1)}{9 - 4 n^{2}}$

Schritt 1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $n + 1$ .

$\frac{2 n - 3}{n + 1} \cdot \frac{(n + 1) (2 n + 3)}{9 - 4 n^{2}}$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{2 n - 3}{n + 1} \cdot \frac{(n + 1) (2 n + 3)}{3^{2} - 4 n^{2}}$

Schritt 2.2

Schreibe $4 n^{2}$ als ${(2 n)}^{2}$ um.

$\frac{2 n - 3}{n + 1} \cdot \frac{(n + 1) (2 n + 3)}{3^{2} - {(2 n)}^{2}}$

Schritt 2.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 3$ und $b = 2 n$ .

$\frac{2 n - 3}{n + 1} \cdot \frac{(n + 1) (2 n + 3)}{(3 + 2 n) (3 - (2 n))}$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 n - 3}{n + 1} \cdot \frac{(n + 1) (2 n + 3)}{(3 + 2 n) (3 - 2 n)}$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $n + 1$ .

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 n - 3}{n + 1} \cdot \frac{(n + 1) (2 n + 3)}{(3 + 2 n) (3 - 2 n)}$

Schritt 3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$(2 n - 3) \cdot \frac{2 n + 3}{(3 + 2 n) (3 - 2 n)}$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 n + 3$ und $3 + 2 n$ .

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Schritt 3.2.1

Stelle die Terme um.

$(2 n - 3) \cdot \frac{2 n + 3}{(2 n + 3) (3 - 2 n)}$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(2 n - 3) \cdot \frac{2 n + 3}{(2 n + 3) (3 - 2 n)}$

Schritt 3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$(2 n - 3) \cdot \frac{1}{3 - 2 n}$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $2 n - 3$ mit $\frac{1}{3 - 2 n}$ .

$\frac{2 n - 3}{3 - 2 n}$

Schritt 3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 n - 3$ und $3 - 2 n$ .

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $- 1$ aus $2 n$ heraus.

$\frac{- (- 2 n) - 3}{3 - 2 n}$

Schritt 3.4.2

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$\frac{- (- 2 n) - 1 (3)}{3 - 2 n}$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (- 2 n) - 1 (3)$ heraus.

$\frac{- (- 2 n + 3)}{3 - 2 n}$

Schritt 3.4.4

Schreibe $- (- 2 n + 3)$ als $- 1 (- 2 n + 3)$ um.

$\frac{- 1 (- 2 n + 3)}{3 - 2 n}$

Schritt 3.4.5

Stelle die Terme um.

$\frac{- 1 (- 2 n + 3)}{- 2 n + 3}$

Schritt 3.4.6

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1 (- 2 n + 3)}{- 2 n + 3}$

Schritt 3.4.7

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- 1$