Grundlegende Mathematik Beispiele

$| 2 d^{2} - 3 d | = 5$

Schritt 1

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$2 d^{2} - 3 d = \pm 5$

Schritt 2

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$2 d^{2} - 3 d = 5$

Schritt 2.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 d^{2} - 3 d - 5 = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere durch Gruppieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 5 = - 10$ und deren Summe gleich $b = - 3$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.1

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 d$ heraus.

$2 d^{2} - 3 d - 5 = 0$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe $- 3$ um als $2$ plus $- 5$

$2 d^{2} + (2 - 5) d - 5 = 0$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 d^{2} + 2 d - 5 d - 5 = 0$

Schritt 2.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(2 d^{2} + 2 d) - 5 d - 5 = 0$

Schritt 2.3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$2 d (d + 1) - 5 (d + 1) = 0$

Schritt 2.3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $d + 1$ .

$(d + 1) (2 d - 5) = 0$

Schritt 2.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$d + 1 = 0$

$2 d - 5 = 0$

Schritt 2.5

Setze $d + 1$ gleich $0$ und löse nach $d$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Setze $d + 1$ gleich $0$ .

$d + 1 = 0$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$d = - 1$

Schritt 2.6

Setze $2 d - 5$ gleich $0$ und löse nach $d$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.1

Setze $2 d - 5$ gleich $0$ .

$2 d - 5 = 0$

Schritt 2.6.2

Löse $2 d - 5 = 0$ nach $d$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.2.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 d = 5$

Schritt 2.6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 d = 5$ durch $2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 d = 5$ durch $2$ .

$\frac{2 d}{2} = \frac{5}{2}$

Schritt 2.6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 d}{2} = \frac{5}{2}$

Schritt 2.6.2.2.2.1.2

Dividiere $d$ durch $1$ .

$d = \frac{5}{2}$

Schritt 2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(d + 1) (2 d - 5) = 0$ wahr machen.

$d = - 1, \frac{5}{2}$

Schritt 2.8

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$2 d^{2} - 3 d = - 5$

Schritt 2.9

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 d^{2} - 3 d + 5 = 0$

Schritt 2.10

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.11

Setze die Werte $a = 2$ , $b = - 3$ und $c = 5$ in die Quadratformel ein und löse nach $d$ auf.

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 5)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.12

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.12.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.12.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$d = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.12.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot 5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.12.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$d = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.12.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $5$ .

$d = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 40}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.12.1.3

Subtrahiere $40$ von $9$ .

$d = \frac{3 \pm \sqrt{- 31}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.12.1.4

Schreibe $- 31$ als $- 1 (31)$ um.

$d = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 31}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.12.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (31)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{31}$ um.

$d = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{31}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.12.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$d = \frac{3 \pm i \sqrt{31}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.12.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$d = \frac{3 \pm i \sqrt{31}}{4}$

Schritt 2.13

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$d = \frac{3 + i \sqrt{31}}{4}, \frac{3 - i \sqrt{31}}{4}$

Schritt 2.14

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$d = - 1, \frac{5}{2}, \frac{3 + i \sqrt{31}}{4}, \frac{3 - i \sqrt{31}}{4}$