Grundlegende Mathematik Beispiele

$3 \sqrt{2 d - 3} + 2 \sqrt{7 - d} = 11$

Schritt 1

Subtrahiere $2 \sqrt{7 - d}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 \sqrt{2 d - 3} = 11 - 2 \sqrt{7 - d}$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(3 \sqrt{2 d - 3})}^{2} = {(11 - 2 \sqrt{7 - d})}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 d - 3}$ als ${(2 d - 3)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(3 {(2 d - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(11 - 2 \sqrt{7 - d})}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${(3 {(2 d - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $3 {(2 d - 3)}^{\frac{1}{2}}$ an.

$3^{2} {({(2 d - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(11 - 2 \sqrt{7 - d})}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$9 {({(2 d - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(11 - 2 \sqrt{7 - d})}^{2}$

Schritt 3.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 d - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 {(2 d - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(11 - 2 \sqrt{7 - d})}^{2}$

Schritt 3.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 {(2 d - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(11 - 2 \sqrt{7 - d})}^{2}$

Schritt 3.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$9 {(2 d - 3)}^{1} = {(11 - 2 \sqrt{7 - d})}^{2}$

Schritt 3.2.1.4

Vereinfache.

$9 (2 d - 3) = {(11 - 2 \sqrt{7 - d})}^{2}$

Schritt 3.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$9 (2 d) + 9 \cdot - 3 = {(11 - 2 \sqrt{7 - d})}^{2}$

Schritt 3.2.1.6

Multipliziere.

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Schritt 3.2.1.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$18 d + 9 \cdot - 3 = {(11 - 2 \sqrt{7 - d})}^{2}$

Schritt 3.2.1.6.2

Mutltipliziere $9$ mit $- 3$ .

$18 d - 27 = {(11 - 2 \sqrt{7 - d})}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${(11 - 2 \sqrt{7 - d})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Schreibe ${(11 - 2 \sqrt{7 - d})}^{2}$ als $(11 - 2 \sqrt{7 - d}) (11 - 2 \sqrt{7 - d})$ um.

$18 d - 27 = (11 - 2 \sqrt{7 - d}) (11 - 2 \sqrt{7 - d})$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $(11 - 2 \sqrt{7 - d}) (11 - 2 \sqrt{7 - d})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$18 d - 27 = 11 (11 - 2 \sqrt{7 - d}) - 2 \sqrt{7 - d} (11 - 2 \sqrt{7 - d})$

Schritt 3.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$18 d - 27 = 11 \cdot 11 + 11 (- 2 \sqrt{7 - d}) - 2 \sqrt{7 - d} (11 - 2 \sqrt{7 - d})$

Schritt 3.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$18 d - 27 = 11 \cdot 11 + 11 (- 2 \sqrt{7 - d}) - 2 \sqrt{7 - d} \cdot 11 - 2 \sqrt{7 - d} (- 2 \sqrt{7 - d})$

Schritt 3.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $11$ mit $11$ .

$18 d - 27 = 121 + 11 (- 2 \sqrt{7 - d}) - 2 \sqrt{7 - d} \cdot 11 - 2 \sqrt{7 - d} (- 2 \sqrt{7 - d})$

Schritt 3.3.1.3.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $11$ .

$18 d - 27 = 121 - 22 \sqrt{7 - d} - 2 \sqrt{7 - d} \cdot 11 - 2 \sqrt{7 - d} (- 2 \sqrt{7 - d})$

Schritt 3.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $11$ mit $- 2$ .

$18 d - 27 = 121 - 22 \sqrt{7 - d} - 22 \sqrt{7 - d} - 2 \sqrt{7 - d} (- 2 \sqrt{7 - d})$

Schritt 3.3.1.3.1.4

Multipliziere $- 2 \sqrt{7 - d} (- 2 \sqrt{7 - d})$ .

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Schritt 3.3.1.3.1.4.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$18 d - 27 = 121 - 22 \sqrt{7 - d} - 22 \sqrt{7 - d} + 4 \sqrt{7 - d} \sqrt{7 - d}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.2

Potenziere $\sqrt{7 - d}$ mit $1$ .

$18 d - 27 = 121 - 22 \sqrt{7 - d} - 22 \sqrt{7 - d} + 4 ({\sqrt{7 - d}}^{1} \sqrt{7 - d})$

Schritt 3.3.1.3.1.4.3

Potenziere $\sqrt{7 - d}$ mit $1$ .

$18 d - 27 = 121 - 22 \sqrt{7 - d} - 22 \sqrt{7 - d} + 4 ({\sqrt{7 - d}}^{1} {\sqrt{7 - d}}^{1})$

Schritt 3.3.1.3.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$18 d - 27 = 121 - 22 \sqrt{7 - d} - 22 \sqrt{7 - d} + 4 {\sqrt{7 - d}}^{1 + 1}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$18 d - 27 = 121 - 22 \sqrt{7 - d} - 22 \sqrt{7 - d} + 4 {\sqrt{7 - d}}^{2}$

Schritt 3.3.1.3.1.5

Schreibe ${\sqrt{7 - d}}^{2}$ als $7 - d$ um.

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Schritt 3.3.1.3.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7 - d}$ als ${(7 - d)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$18 d - 27 = 121 - 22 \sqrt{7 - d} - 22 \sqrt{7 - d} + 4 {({(7 - d)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$18 d - 27 = 121 - 22 \sqrt{7 - d} - 22 \sqrt{7 - d} + 4 {(7 - d)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$18 d - 27 = 121 - 22 \sqrt{7 - d} - 22 \sqrt{7 - d} + 4 {(7 - d)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.3.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$18 d - 27 = 121 - 22 \sqrt{7 - d} - 22 \sqrt{7 - d} + 4 {(7 - d)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$18 d - 27 = 121 - 22 \sqrt{7 - d} - 22 \sqrt{7 - d} + 4 {(7 - d)}^{1}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.5

Vereinfache.

$18 d - 27 = 121 - 22 \sqrt{7 - d} - 22 \sqrt{7 - d} + 4 (7 - d)$

Schritt 3.3.1.3.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$18 d - 27 = 121 - 22 \sqrt{7 - d} - 22 \sqrt{7 - d} + 4 \cdot 7 + 4 (- d)$

Schritt 3.3.1.3.1.7

Mutltipliziere $4$ mit $7$ .

$18 d - 27 = 121 - 22 \sqrt{7 - d} - 22 \sqrt{7 - d} + 28 + 4 (- d)$

Schritt 3.3.1.3.1.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$18 d - 27 = 121 - 22 \sqrt{7 - d} - 22 \sqrt{7 - d} + 28 - 4 d$

Schritt 3.3.1.3.2

Addiere $121$ und $28$ .

$18 d - 27 = 149 - 22 \sqrt{7 - d} - 22 \sqrt{7 - d} - 4 d$

Schritt 3.3.1.3.3

Subtrahiere $22 \sqrt{7 - d}$ von $- 22 \sqrt{7 - d}$ .

$18 d - 27 = 149 - 44 \sqrt{7 - d} - 4 d$

Schritt 4

Löse nach $- 44 \sqrt{7 - d}$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $149 - 44 \sqrt{7 - d} - 4 d = 18 d - 27$ um.

$149 - 44 \sqrt{7 - d} - 4 d = 18 d - 27$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die nicht $- 44 \sqrt{7 - d}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $149$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 44 \sqrt{7 - d} - 4 d = 18 d - 27 - 149$

Schritt 4.2.2

Addiere $4 d$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 44 \sqrt{7 - d} = 18 d - 27 - 149 + 4 d$

Schritt 4.2.3

Addiere $18 d$ und $4 d$ .

$- 44 \sqrt{7 - d} = 22 d - 27 - 149$

Schritt 4.2.4

Subtrahiere $149$ von $- 27$ .

$- 44 \sqrt{7 - d} = 22 d - 176$

Schritt 5

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(- 44 \sqrt{7 - d})}^{2} = {(22 d - 176)}^{2}$

Schritt 6

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7 - d}$ als ${(7 - d)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(- 44 {(7 - d)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(22 d - 176)}^{2}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache ${(- 44 {(7 - d)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- 44 {(7 - d)}^{\frac{1}{2}}$ an.

${(- 44)}^{2} {({(7 - d)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(22 d - 176)}^{2}$

Schritt 6.2.1.2

Potenziere $- 44$ mit $2$ .

$1936 {({(7 - d)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(22 d - 176)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(7 - d)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1936 {(7 - d)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(22 d - 176)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1936 {(7 - d)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(22 d - 176)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1936 {(7 - d)}^{1} = {(22 d - 176)}^{2}$

Schritt 6.2.1.4

Vereinfache.

$1936 (7 - d) = {(22 d - 176)}^{2}$

Schritt 6.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$1936 \cdot 7 + 1936 (- d) = {(22 d - 176)}^{2}$

Schritt 6.2.1.6

Multipliziere.

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Schritt 6.2.1.6.1

Mutltipliziere $1936$ mit $7$ .

$13552 + 1936 (- d) = {(22 d - 176)}^{2}$

Schritt 6.2.1.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1936$ .

$13552 - 1936 d = {(22 d - 176)}^{2}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache ${(22 d - 176)}^{2}$ .

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Schritt 6.3.1.1

Schreibe ${(22 d - 176)}^{2}$ als $(22 d - 176) (22 d - 176)$ um.

$13552 - 1936 d = (22 d - 176) (22 d - 176)$

Schritt 6.3.1.2

Multipliziere $(22 d - 176) (22 d - 176)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$13552 - 1936 d = 22 d (22 d - 176) - 176 (22 d - 176)$

Schritt 6.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$13552 - 1936 d = 22 d (22 d) + 22 d \cdot - 176 - 176 (22 d - 176)$

Schritt 6.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$13552 - 1936 d = 22 d (22 d) + 22 d \cdot - 176 - 176 (22 d) - 176 \cdot - 176$

Schritt 6.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$13552 - 1936 d = 22 \cdot 22 d \cdot d + 22 d \cdot - 176 - 176 (22 d) - 176 \cdot - 176$

Schritt 6.3.1.3.1.2

Multipliziere $d$ mit $d$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.3.1.3.1.2.1

Bewege $d$ .

$13552 - 1936 d = 22 \cdot 22 (d \cdot d) + 22 d \cdot - 176 - 176 (22 d) - 176 \cdot - 176$

Schritt 6.3.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $d$ mit $d$ .

$13552 - 1936 d = 22 \cdot 22 d^{2} + 22 d \cdot - 176 - 176 (22 d) - 176 \cdot - 176$

Schritt 6.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $22$ mit $22$ .

$13552 - 1936 d = 484 d^{2} + 22 d \cdot - 176 - 176 (22 d) - 176 \cdot - 176$

Schritt 6.3.1.3.1.4

Mutltipliziere $- 176$ mit $22$ .

$13552 - 1936 d = 484 d^{2} - 3872 d - 176 (22 d) - 176 \cdot - 176$

Schritt 6.3.1.3.1.5

Mutltipliziere $22$ mit $- 176$ .

$13552 - 1936 d = 484 d^{2} - 3872 d - 3872 d - 176 \cdot - 176$

Schritt 6.3.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 176$ mit $- 176$ .

$13552 - 1936 d = 484 d^{2} - 3872 d - 3872 d + 30976$

Schritt 6.3.1.3.2

Subtrahiere $3872 d$ von $- 3872 d$ .

$13552 - 1936 d = 484 d^{2} - 7744 d + 30976$

Schritt 7

Löse nach $d$ auf.

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Schritt 7.1

Da $d$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$484 d^{2} - 7744 d + 30976 = 13552 - 1936 d$

Schritt 7.2

Bringe alle Terme, die $d$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 7.2.1

Addiere $1936 d$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$484 d^{2} - 7744 d + 30976 + 1936 d = 13552$

Schritt 7.2.2

Addiere $- 7744 d$ und $1936 d$ .

$484 d^{2} - 5808 d + 30976 = 13552$

Schritt 7.3

Subtrahiere $13552$ von beiden Seiten der Gleichung.

$484 d^{2} - 5808 d + 30976 - 13552 = 0$

Schritt 7.4

Subtrahiere $13552$ von $30976$ .

$484 d^{2} - 5808 d + 17424 = 0$

Schritt 7.5

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 7.5.1

Faktorisiere $484$ aus $484 d^{2} - 5808 d + 17424$ heraus.

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Schritt 7.5.1.1

Faktorisiere $484$ aus $484 d^{2}$ heraus.

$484 (d^{2}) - 5808 d + 17424 = 0$

Schritt 7.5.1.2

Faktorisiere $484$ aus $- 5808 d$ heraus.

$484 (d^{2}) + 484 (- 12 d) + 17424 = 0$

Schritt 7.5.1.3

Faktorisiere $484$ aus $17424$ heraus.

$484 d^{2} + 484 (- 12 d) + 484 \cdot 36 = 0$

Schritt 7.5.1.4

Faktorisiere $484$ aus $484 d^{2} + 484 (- 12 d)$ heraus.

$484 (d^{2} - 12 d) + 484 \cdot 36 = 0$

Schritt 7.5.1.5

Faktorisiere $484$ aus $484 (d^{2} - 12 d) + 484 \cdot 36$ heraus.

$484 (d^{2} - 12 d + 36) = 0$

Schritt 7.5.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 7.5.2.1

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$484 (d^{2} - 12 d + 6^{2}) = 0$

Schritt 7.5.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$12 d = 2 \cdot d \cdot 6$

Schritt 7.5.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$484 (d^{2} - 2 \cdot d \cdot 6 + 6^{2}) = 0$

Schritt 7.5.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = d$ und $b = 6$ .

$484 {(d - 6)}^{2} = 0$

Schritt 7.6

Teile jeden Ausdruck in $484 {(d - 6)}^{2} = 0$ durch $484$ und vereinfache.

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Schritt 7.6.1

Teile jeden Ausdruck in $484 {(d - 6)}^{2} = 0$ durch $484$ .

$\frac{484 {(d - 6)}^{2}}{484} = \frac{0}{484}$

Schritt 7.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $484$ .

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Schritt 7.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{484 {(d - 6)}^{2}}{484} = \frac{0}{484}$

Schritt 7.6.2.1.2

Dividiere ${(d - 6)}^{2}$ durch $1$ .

${(d - 6)}^{2} = \frac{0}{484}$

Schritt 7.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.6.3.1

Dividiere $0$ durch $484$ .

${(d - 6)}^{2} = 0$

Schritt 7.7

Setze $d - 6$ gleich $0$ .

$d - 6 = 0$

Schritt 7.8

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$d = 6$