Grundlegende Mathematik Beispiele

${(9 - 4 \sqrt{5})}^{3} + 1 \div {(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$9^{3} + 3 \cdot 9^{2} (- 4 \sqrt{5}) + 3 \cdot 9 {(- 4 \sqrt{5})}^{2} + {(- 4 \sqrt{5})}^{3} + 1 \div {(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}$

Schritt 1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1

Potenziere $9$ mit $3$ .

$729 + 3 \cdot 9^{2} (- 4 \sqrt{5}) + 3 \cdot 9 {(- 4 \sqrt{5})}^{2} + {(- 4 \sqrt{5})}^{3} + 1 \div {(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}$

Schritt 1.2.2

Potenziere $9$ mit $2$ .

$729 + 3 \cdot 81 (- 4 \sqrt{5}) + 3 \cdot 9 {(- 4 \sqrt{5})}^{2} + {(- 4 \sqrt{5})}^{3} + 1 \div {(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $81$ .

$729 + 243 (- 4 \sqrt{5}) + 3 \cdot 9 {(- 4 \sqrt{5})}^{2} + {(- 4 \sqrt{5})}^{3} + 1 \div {(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}$

Schritt 1.2.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $243$ .

$729 - 972 \sqrt{5} + 3 \cdot 9 {(- 4 \sqrt{5})}^{2} + {(- 4 \sqrt{5})}^{3} + 1 \div {(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}$

Schritt 1.2.5

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$729 - 972 \sqrt{5} + 27 {(- 4 \sqrt{5})}^{2} + {(- 4 \sqrt{5})}^{3} + 1 \div {(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}$

Schritt 1.2.6

Wende die Produktregel auf $- 4 \sqrt{5}$ an.

$729 - 972 \sqrt{5} + 27 ({(- 4)}^{2} {\sqrt{5}}^{2}) + {(- 4 \sqrt{5})}^{3} + 1 \div {(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}$

Schritt 1.2.7

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$729 - 972 \sqrt{5} + 27 (16 {\sqrt{5}}^{2}) + {(- 4 \sqrt{5})}^{3} + 1 \div {(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}$

Schritt 1.2.8

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 1.2.8.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$729 - 972 \sqrt{5} + 27 (16 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}) + {(- 4 \sqrt{5})}^{3} + 1 \div {(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}$

Schritt 1.2.8.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$729 - 972 \sqrt{5} + 27 (16 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + {(- 4 \sqrt{5})}^{3} + 1 \div {(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}$

Schritt 1.2.8.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$729 - 972 \sqrt{5} + 27 (16 \cdot 5^{\frac{2}{2}}) + {(- 4 \sqrt{5})}^{3} + 1 \div {(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}$

Schritt 1.2.8.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.8.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$729 - 972 \sqrt{5} + 27 (16 \cdot 5^{\frac{2}{2}}) + {(- 4 \sqrt{5})}^{3} + 1 \div {(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}$

Schritt 1.2.8.4.2

Forme den Ausdruck um.

$729 - 972 \sqrt{5} + 27 (16 \cdot 5^{1}) + {(- 4 \sqrt{5})}^{3} + 1 \div {(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}$

Schritt 1.2.8.5

Berechne den Exponenten.

$729 - 972 \sqrt{5} + 27 (16 \cdot 5) + {(- 4 \sqrt{5})}^{3} + 1 \div {(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}$

Schritt 1.2.9

Multipliziere $27 (16 \cdot 5)$ .

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Schritt 1.2.9.1

Mutltipliziere $16$ mit $5$ .

$729 - 972 \sqrt{5} + 27 \cdot 80 + {(- 4 \sqrt{5})}^{3} + 1 \div {(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}$

Schritt 1.2.9.2

Mutltipliziere $27$ mit $80$ .

$729 - 972 \sqrt{5} + 2160 + {(- 4 \sqrt{5})}^{3} + 1 \div {(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}$

Schritt 1.2.10

Wende die Produktregel auf $- 4 \sqrt{5}$ an.

$729 - 972 \sqrt{5} + 2160 + {(- 4)}^{3} {\sqrt{5}}^{3} + 1 \div {(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}$

Schritt 1.2.11

Potenziere $- 4$ mit $3$ .

$729 - 972 \sqrt{5} + 2160 - 64 {\sqrt{5}}^{3} + 1 \div {(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}$

Schritt 1.2.12

Schreibe ${\sqrt{5}}^{3}$ als $\sqrt{5^{3}}$ um.

$729 - 972 \sqrt{5} + 2160 - 64 \sqrt{5^{3}} + 1 \div {(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}$

Schritt 1.2.13

Potenziere $5$ mit $3$ .

$729 - 972 \sqrt{5} + 2160 - 64 \sqrt{125} + 1 \div {(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}$

Schritt 1.2.14

Schreibe $125$ als $5^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 1.2.14.1

Faktorisiere $25$ aus $125$ heraus.

$729 - 972 \sqrt{5} + 2160 - 64 \sqrt{25 (5)} + 1 \div {(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}$

Schritt 1.2.14.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$729 - 972 \sqrt{5} + 2160 - 64 \sqrt{5^{2} \cdot 5} + 1 \div {(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}$

Schritt 1.2.15

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$729 - 972 \sqrt{5} + 2160 - 64 (5 \sqrt{5}) + 1 \div {(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}$

Schritt 1.2.16

Mutltipliziere $5$ mit $- 64$ .

$729 - 972 \sqrt{5} + 2160 - 320 \sqrt{5} + 1 \div {(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}$

Schritt 1.3

Addiere $729$ und $2160$ .

$2889 - 972 \sqrt{5} - 320 \sqrt{5} + 1 \div {(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}$

Schritt 1.4

Subtrahiere $320 \sqrt{5}$ von $- 972 \sqrt{5}$ .

$2889 - 1292 \sqrt{5} + 1 \div {(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}$

Schritt 1.5

Schreibe die Division um als einen Bruch.

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{{(9 - 4 \sqrt{5})}^{3}}$

Schritt 1.6

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{9^{3} + 3 \cdot 9^{2} (- 4 \sqrt{5}) + 3 \cdot 9 {(- 4 \sqrt{5})}^{2} + {(- 4 \sqrt{5})}^{3}}$

Schritt 1.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.7.1

Potenziere $9$ mit $3$ .

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{729 + 3 \cdot 9^{2} (- 4 \sqrt{5}) + 3 \cdot 9 {(- 4 \sqrt{5})}^{2} + {(- 4 \sqrt{5})}^{3}}$

Schritt 1.7.2

Potenziere $9$ mit $2$ .

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{729 + 3 \cdot 81 (- 4 \sqrt{5}) + 3 \cdot 9 {(- 4 \sqrt{5})}^{2} + {(- 4 \sqrt{5})}^{3}}$

Schritt 1.7.3

Mutltipliziere $3$ mit $81$ .

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{729 + 243 (- 4 \sqrt{5}) + 3 \cdot 9 {(- 4 \sqrt{5})}^{2} + {(- 4 \sqrt{5})}^{3}}$

Schritt 1.7.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $243$ .

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{729 - 972 \sqrt{5} + 3 \cdot 9 {(- 4 \sqrt{5})}^{2} + {(- 4 \sqrt{5})}^{3}}$

Schritt 1.7.5

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{729 - 972 \sqrt{5} + 27 {(- 4 \sqrt{5})}^{2} + {(- 4 \sqrt{5})}^{3}}$

Schritt 1.7.6

Wende die Produktregel auf $- 4 \sqrt{5}$ an.

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{729 - 972 \sqrt{5} + 27 ({(- 4)}^{2} {\sqrt{5}}^{2}) + {(- 4 \sqrt{5})}^{3}}$

Schritt 1.7.7

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{729 - 972 \sqrt{5} + 27 (16 {\sqrt{5}}^{2}) + {(- 4 \sqrt{5})}^{3}}$

Schritt 1.7.8

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 1.7.8.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{729 - 972 \sqrt{5} + 27 (16 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}) + {(- 4 \sqrt{5})}^{3}}$

Schritt 1.7.8.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{729 - 972 \sqrt{5} + 27 (16 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + {(- 4 \sqrt{5})}^{3}}$

Schritt 1.7.8.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{729 - 972 \sqrt{5} + 27 (16 \cdot 5^{\frac{2}{2}}) + {(- 4 \sqrt{5})}^{3}}$

Schritt 1.7.8.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.7.8.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{729 - 972 \sqrt{5} + 27 (16 \cdot 5^{\frac{2}{2}}) + {(- 4 \sqrt{5})}^{3}}$

Schritt 1.7.8.4.2

Forme den Ausdruck um.

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{729 - 972 \sqrt{5} + 27 (16 \cdot 5^{1}) + {(- 4 \sqrt{5})}^{3}}$

Schritt 1.7.8.5

Berechne den Exponenten.

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{729 - 972 \sqrt{5} + 27 (16 \cdot 5) + {(- 4 \sqrt{5})}^{3}}$

Schritt 1.7.9

Multipliziere $27 (16 \cdot 5)$ .

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Schritt 1.7.9.1

Mutltipliziere $16$ mit $5$ .

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{729 - 972 \sqrt{5} + 27 \cdot 80 + {(- 4 \sqrt{5})}^{3}}$

Schritt 1.7.9.2

Mutltipliziere $27$ mit $80$ .

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{729 - 972 \sqrt{5} + 2160 + {(- 4 \sqrt{5})}^{3}}$

Schritt 1.7.10

Wende die Produktregel auf $- 4 \sqrt{5}$ an.

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{729 - 972 \sqrt{5} + 2160 + {(- 4)}^{3} {\sqrt{5}}^{3}}$

Schritt 1.7.11

Potenziere $- 4$ mit $3$ .

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{729 - 972 \sqrt{5} + 2160 - 64 {\sqrt{5}}^{3}}$

Schritt 1.7.12

Schreibe ${\sqrt{5}}^{3}$ als $\sqrt{5^{3}}$ um.

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{729 - 972 \sqrt{5} + 2160 - 64 \sqrt{5^{3}}}$

Schritt 1.7.13

Potenziere $5$ mit $3$ .

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{729 - 972 \sqrt{5} + 2160 - 64 \sqrt{125}}$

Schritt 1.7.14

Schreibe $125$ als $5^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 1.7.14.1

Faktorisiere $25$ aus $125$ heraus.

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{729 - 972 \sqrt{5} + 2160 - 64 \sqrt{25 (5)}}$

Schritt 1.7.14.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{729 - 972 \sqrt{5} + 2160 - 64 \sqrt{5^{2} \cdot 5}}$

Schritt 1.7.15

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{729 - 972 \sqrt{5} + 2160 - 64 (5 \sqrt{5})}$

Schritt 1.7.16

Mutltipliziere $5$ mit $- 64$ .

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{729 - 972 \sqrt{5} + 2160 - 320 \sqrt{5}}$

Schritt 1.8

Addiere $729$ und $2160$ .

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{2889 - 972 \sqrt{5} - 320 \sqrt{5}}$

Schritt 1.9

Subtrahiere $320 \sqrt{5}$ von $- 972 \sqrt{5}$ .

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{2889 - 1292 \sqrt{5}}$

Schritt 1.10

Mutltipliziere $\frac{1}{2889 - 1292 \sqrt{5}}$ mit $\frac{2889 + 1292 \sqrt{5}}{2889 + 1292 \sqrt{5}}$ .

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{1}{2889 - 1292 \sqrt{5}} \cdot \frac{2889 + 1292 \sqrt{5}}{2889 + 1292 \sqrt{5}}$

Schritt 1.11

Mutltipliziere $\frac{1}{2889 - 1292 \sqrt{5}}$ mit $\frac{2889 + 1292 \sqrt{5}}{2889 + 1292 \sqrt{5}}$ .

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{2889 + 1292 \sqrt{5}}{(2889 - 1292 \sqrt{5}) (2889 + 1292 \sqrt{5})}$

Schritt 1.12

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{2889 + 1292 \sqrt{5}}{8346321 + 3732588 \sqrt{5} - 3732588 \sqrt{5} - 1669264 {\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 1.13

Vereinfache.

$2889 - 1292 \sqrt{5} + \frac{2889 + 1292 \sqrt{5}}{1}$

Schritt 1.14

Dividiere $2889 + 1292 \sqrt{5}$ durch $1$ .

$2889 - 1292 \sqrt{5} + 2889 + 1292 \sqrt{5}$

Schritt 2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.1

Addiere $2889$ und $2889$ .

$5778 - 1292 \sqrt{5} + 1292 \sqrt{5}$

Schritt 2.2

Addiere $- 1292 \sqrt{5}$ und $1292 \sqrt{5}$ .

$5778 + 0$

Schritt 2.3

Addiere $5778$ und $0$ .

$5778$