Grundlegende Mathematik Beispiele

${(\frac{3}{5})}^{7} \div {(\frac{3}{5})}^{5} + \sqrt{{(\frac{25}{9})}^{- 1}} \div \frac{3}{5} - (1 - \frac{2}{5})$

Schritt 1

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 1.1

Mutltipliziere $\sqrt{{(\frac{25}{9})}^{- 1}} \div \frac{3}{5}$ mit $\frac{{(\frac{3}{5})}^{4}}{{(\frac{3}{5})}^{4}}$ .

${(\frac{3}{5})}^{7} \div {(\frac{3}{5})}^{5} + \sqrt{{(\frac{25}{9})}^{- 1}} \div \frac{3}{5} \cdot \frac{{(\frac{3}{5})}^{4}}{{(\frac{3}{5})}^{4}} - (1 - \frac{2}{5})$

Schritt 1.2

Mutltipliziere $\sqrt{{(\frac{25}{9})}^{- 1}} \div \frac{3}{5}$ mit $\frac{{(\frac{3}{5})}^{4}}{{(\frac{3}{5})}^{4}}$ .

${(\frac{3}{5})}^{7} \div {(\frac{3}{5})}^{5} + \frac{\sqrt{{(\frac{25}{9})}^{- 1}} {(\frac{3}{5})}^{4}}{\frac{3}{5} {(\frac{3}{5})}^{4}} - (1 - \frac{2}{5})$

Schritt 1.3

Schreibe $- (1 - \frac{2}{5})$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

${(\frac{3}{5})}^{7} \div {(\frac{3}{5})}^{5} + \frac{\sqrt{{(\frac{25}{9})}^{- 1}} {(\frac{3}{5})}^{4}}{\frac{3}{5} {(\frac{3}{5})}^{4}} + \frac{- (1 - \frac{2}{5})}{1}$

Schritt 1.4

Mutltipliziere $\frac{- (1 - \frac{2}{5})}{1}$ mit $\frac{{(\frac{3}{5})}^{5}}{{(\frac{3}{5})}^{5}}$ .

${(\frac{3}{5})}^{7} \div {(\frac{3}{5})}^{5} + \frac{\sqrt{{(\frac{25}{9})}^{- 1}} {(\frac{3}{5})}^{4}}{\frac{3}{5} {(\frac{3}{5})}^{4}} + \frac{- (1 - \frac{2}{5})}{1} \cdot \frac{{(\frac{3}{5})}^{5}}{{(\frac{3}{5})}^{5}}$

Schritt 1.5

Mutltipliziere $\frac{- (1 - \frac{2}{5})}{1}$ mit $\frac{{(\frac{3}{5})}^{5}}{{(\frac{3}{5})}^{5}}$ .

Schritt 1.6

Multipliziere $\frac{3}{5}$ mit ${(\frac{3}{5})}^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.6.1

Mutltipliziere $\frac{3}{5}$ mit ${(\frac{3}{5})}^{4}$ .

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Schritt 1.6.1.1

Potenziere $\frac{3}{5}$ mit $1$ .

${(\frac{3}{5})}^{7} \div {(\frac{3}{5})}^{5} + \frac{\sqrt{{(\frac{25}{9})}^{- 1}} {(\frac{3}{5})}^{4}}{{(\frac{3}{5})}^{1} {(\frac{3}{5})}^{4}} + \frac{- (1 - \frac{2}{5}) {(\frac{3}{5})}^{5}}{{(\frac{3}{5})}^{5}}$

Schritt 1.6.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(\frac{3}{5})}^{7} \div {(\frac{3}{5})}^{5} + \frac{\sqrt{{(\frac{25}{9})}^{- 1}} {(\frac{3}{5})}^{4}}{{(\frac{3}{5})}^{1 + 4}} + \frac{- (1 - \frac{2}{5}) {(\frac{3}{5})}^{5}}{{(\frac{3}{5})}^{5}}$

Schritt 1.6.2

Addiere $1$ und $4$ .

${(\frac{3}{5})}^{7} \div {(\frac{3}{5})}^{5} + \frac{\sqrt{{(\frac{25}{9})}^{- 1}} {(\frac{3}{5})}^{4}}{{(\frac{3}{5})}^{5}} + \frac{- (1 - \frac{2}{5}) {(\frac{3}{5})}^{5}}{{(\frac{3}{5})}^{5}}$

Schritt 2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{(\frac{3}{5})}^{7} + \sqrt{{(\frac{25}{9})}^{- 1}} {(\frac{3}{5})}^{4} - (1 - \frac{2}{5}) {(\frac{3}{5})}^{5}}{{(\frac{3}{5})}^{5}}$

Schritt 3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{5}$ an.

$\frac{\frac{3^{7}}{5^{7}} + \sqrt{{(\frac{25}{9})}^{- 1}} {(\frac{3}{5})}^{4} - (1 - \frac{2}{5}) {(\frac{3}{5})}^{5}}{{(\frac{3}{5})}^{5}}$

Schritt 3.2

Potenziere $3$ mit $7$ .

$\frac{\frac{2187}{5^{7}} + \sqrt{{(\frac{25}{9})}^{- 1}} {(\frac{3}{5})}^{4} - (1 - \frac{2}{5}) {(\frac{3}{5})}^{5}}{{(\frac{3}{5})}^{5}}$

Schritt 3.3

Potenziere $5$ mit $7$ .

$\frac{\frac{2187}{78125} + \sqrt{{(\frac{25}{9})}^{- 1}} {(\frac{3}{5})}^{4} - (1 - \frac{2}{5}) {(\frac{3}{5})}^{5}}{{(\frac{3}{5})}^{5}}$

Schritt 3.4

Wende die Produktregel auf $\frac{25}{9}$ an.

$\frac{\frac{2187}{78125} + \sqrt{\frac{25^{- 1}}{9^{- 1}}} {(\frac{3}{5})}^{4} - (1 - \frac{2}{5}) {(\frac{3}{5})}^{5}}{{(\frac{3}{5})}^{5}}$

Schritt 3.5

Bringe $25^{- 1}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{2187}{78125} + \sqrt{\frac{1}{9^{- 1} \cdot 25}} {(\frac{3}{5})}^{4} - (1 - \frac{2}{5}) {(\frac{3}{5})}^{5}}{{(\frac{3}{5})}^{5}}$

Schritt 3.6

Bringe $9^{- 1}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$\frac{\frac{2187}{78125} + \sqrt{\frac{9}{25}} {(\frac{3}{5})}^{4} - (1 - \frac{2}{5}) {(\frac{3}{5})}^{5}}{{(\frac{3}{5})}^{5}}$

Schritt 3.7

Schreibe $\sqrt{\frac{9}{25}}$ als $\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{25}}$ um.

$\frac{\frac{2187}{78125} + \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{25}} {(\frac{3}{5})}^{4} - (1 - \frac{2}{5}) {(\frac{3}{5})}^{5}}{{(\frac{3}{5})}^{5}}$

Schritt 3.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.8.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{\frac{2187}{78125} + \frac{\sqrt{3^{2}}}{\sqrt{25}} {(\frac{3}{5})}^{4} - (1 - \frac{2}{5}) {(\frac{3}{5})}^{5}}{{(\frac{3}{5})}^{5}}$

Schritt 3.8.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{\frac{2187}{78125} + \frac{3}{\sqrt{25}} {(\frac{3}{5})}^{4} - (1 - \frac{2}{5}) {(\frac{3}{5})}^{5}}{{(\frac{3}{5})}^{5}}$

Schritt 3.9

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.9.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{\frac{2187}{78125} + \frac{3}{\sqrt{5^{2}}} {(\frac{3}{5})}^{4} - (1 - \frac{2}{5}) {(\frac{3}{5})}^{5}}{{(\frac{3}{5})}^{5}}$

Schritt 3.9.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{\frac{2187}{78125} + \frac{3}{5} {(\frac{3}{5})}^{4} - (1 - \frac{2}{5}) {(\frac{3}{5})}^{5}}{{(\frac{3}{5})}^{5}}$

Schritt 3.10

Multipliziere $\frac{3}{5}$ mit ${(\frac{3}{5})}^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.10.1

Mutltipliziere $\frac{3}{5}$ mit ${(\frac{3}{5})}^{4}$ .

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Schritt 3.10.1.1

Potenziere $\frac{3}{5}$ mit $1$ .

$\frac{\frac{2187}{78125} + {(\frac{3}{5})}^{1} {(\frac{3}{5})}^{4} - (1 - \frac{2}{5}) {(\frac{3}{5})}^{5}}{{(\frac{3}{5})}^{5}}$

Schritt 3.10.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{2187}{78125} + {(\frac{3}{5})}^{1 + 4} - (1 - \frac{2}{5}) {(\frac{3}{5})}^{5}}{{(\frac{3}{5})}^{5}}$

Schritt 3.10.2

Addiere $1$ und $4$ .

$\frac{\frac{2187}{78125} + {(\frac{3}{5})}^{5} - (1 - \frac{2}{5}) {(\frac{3}{5})}^{5}}{{(\frac{3}{5})}^{5}}$

Schritt 3.11

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{5}$ an.

$\frac{\frac{2187}{78125} + \frac{3^{5}}{5^{5}} - (1 - \frac{2}{5}) {(\frac{3}{5})}^{5}}{{(\frac{3}{5})}^{5}}$

Schritt 3.12

Potenziere $3$ mit $5$ .

$\frac{\frac{2187}{78125} + \frac{243}{5^{5}} - (1 - \frac{2}{5}) {(\frac{3}{5})}^{5}}{{(\frac{3}{5})}^{5}}$

Schritt 3.13

Potenziere $5$ mit $5$ .

$\frac{\frac{2187}{78125} + \frac{243}{3125} - (1 - \frac{2}{5}) {(\frac{3}{5})}^{5}}{{(\frac{3}{5})}^{5}}$

Schritt 3.14

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{2187}{78125} + \frac{243}{3125} - (\frac{5}{5} - \frac{2}{5}) {(\frac{3}{5})}^{5}}{{(\frac{3}{5})}^{5}}$

Schritt 3.15

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{2187}{78125} + \frac{243}{3125} - \frac{5 - 2}{5} {(\frac{3}{5})}^{5}}{{(\frac{3}{5})}^{5}}$

Schritt 3.16

Subtrahiere $2$ von $5$ .

$\frac{\frac{2187}{78125} + \frac{243}{3125} - \frac{3}{5} {(\frac{3}{5})}^{5}}{{(\frac{3}{5})}^{5}}$

Schritt 3.17

Multipliziere $\frac{3}{5}$ mit ${(\frac{3}{5})}^{5}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.17.1

Bewege ${(\frac{3}{5})}^{5}$ .

$\frac{\frac{2187}{78125} + \frac{243}{3125} - ({(\frac{3}{5})}^{5} \frac{3}{5})}{{(\frac{3}{5})}^{5}}$

Schritt 3.17.2

Mutltipliziere ${(\frac{3}{5})}^{5}$ mit $\frac{3}{5}$ .

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Schritt 3.17.2.1

Potenziere $\frac{3}{5}$ mit $1$ .

$\frac{\frac{2187}{78125} + \frac{243}{3125} - ({(\frac{3}{5})}^{5} {(\frac{3}{5})}^{1})}{{(\frac{3}{5})}^{5}}$

Schritt 3.17.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{2187}{78125} + \frac{243}{3125} - {(\frac{3}{5})}^{5 + 1}}{{(\frac{3}{5})}^{5}}$

Schritt 3.17.3

Addiere $5$ und $1$ .

$\frac{\frac{2187}{78125} + \frac{243}{3125} - {(\frac{3}{5})}^{6}}{{(\frac{3}{5})}^{5}}$

Schritt 3.18

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{5}$ an.

$\frac{\frac{2187}{78125} + \frac{243}{3125} - \frac{3^{6}}{5^{6}}}{{(\frac{3}{5})}^{5}}$

Schritt 3.19

Potenziere $3$ mit $6$ .

$\frac{\frac{2187}{78125} + \frac{243}{3125} - \frac{729}{5^{6}}}{{(\frac{3}{5})}^{5}}$

Schritt 3.20

Potenziere $5$ mit $6$ .

$\frac{\frac{2187}{78125} + \frac{243}{3125} - \frac{729}{15625}}{{(\frac{3}{5})}^{5}}$

Schritt 4

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{243}{3125}$ mit $\frac{25}{25}$ .

$\frac{\frac{2187}{78125} + \frac{243}{3125} \cdot \frac{25}{25} - \frac{729}{15625}}{{(\frac{3}{5})}^{5}}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{243}{3125}$ mit $\frac{25}{25}$ .

$\frac{\frac{2187}{78125} + \frac{243 \cdot 25}{3125 \cdot 25} - \frac{729}{15625}}{{(\frac{3}{5})}^{5}}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $\frac{729}{15625}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\frac{2187}{78125} + \frac{243 \cdot 25}{3125 \cdot 25} - (\frac{729}{15625} \cdot \frac{5}{5})}{{(\frac{3}{5})}^{5}}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $\frac{729}{15625}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\frac{2187}{78125} + \frac{243 \cdot 25}{3125 \cdot 25} - \frac{729 \cdot 5}{15625 \cdot 5}}{{(\frac{3}{5})}^{5}}$

Schritt 4.5

Stelle die Faktoren von $3125 \cdot 25$ um.

$\frac{\frac{2187}{78125} + \frac{243 \cdot 25}{25 \cdot 3125} - \frac{729 \cdot 5}{15625 \cdot 5}}{{(\frac{3}{5})}^{5}}$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $25$ mit $3125$ .

$\frac{\frac{2187}{78125} + \frac{243 \cdot 25}{78125} - \frac{729 \cdot 5}{15625 \cdot 5}}{{(\frac{3}{5})}^{5}}$

Schritt 4.7

Stelle die Faktoren von $15625 \cdot 5$ um.

$\frac{\frac{2187}{78125} + \frac{243 \cdot 25}{78125} - \frac{729 \cdot 5}{5 \cdot 15625}}{{(\frac{3}{5})}^{5}}$

Schritt 4.8

Mutltipliziere $5$ mit $15625$ .

$\frac{\frac{2187}{78125} + \frac{243 \cdot 25}{78125} - \frac{729 \cdot 5}{78125}}{{(\frac{3}{5})}^{5}}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{2187 + 243 \cdot 25 - 729 \cdot 5}{78125}}{{(\frac{3}{5})}^{5}}$

Schritt 6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $243$ mit $25$ .

$\frac{\frac{2187 + 6075 - 729 \cdot 5}{78125}}{{(\frac{3}{5})}^{5}}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $- 729$ mit $5$ .

$\frac{\frac{2187 + 6075 - 3645}{78125}}{{(\frac{3}{5})}^{5}}$

Schritt 7

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 7.1

Addiere $2187$ und $6075$ .

$\frac{\frac{8262 - 3645}{78125}}{{(\frac{3}{5})}^{5}}$

Schritt 7.2

Subtrahiere $3645$ von $8262$ .

$\frac{\frac{4617}{78125}}{{(\frac{3}{5})}^{5}}$

Schritt 8

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{4617}{78125} \cdot \frac{1}{{(\frac{3}{5})}^{5}}$

Schritt 9

Kombiniere Brüche.

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Schritt 9.1

Kombinieren.

$\frac{4617 \cdot 1}{78125 {(\frac{3}{5})}^{5}}$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $4617$ mit $1$ .

$\frac{4617}{78125 {(\frac{3}{5})}^{5}}$

Schritt 10

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.1

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{5}$ an.

$\frac{4617}{78125 \frac{3^{5}}{5^{5}}}$

Schritt 10.2

Potenziere $3$ mit $5$ .

$\frac{4617}{78125 \frac{243}{5^{5}}}$

Schritt 10.3

Potenziere $5$ mit $5$ .

$\frac{4617}{78125 (\frac{243}{3125})}$

Schritt 11

Vereinfache Terme.

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Schritt 11.1

Kombiniere $78125$ und $\frac{243}{3125}$ .

$\frac{4617}{\frac{78125 \cdot 243}{3125}}$

Schritt 11.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 11.2.1

Mutltipliziere $78125$ mit $243$ .

$\frac{4617}{\frac{18984375}{3125}}$

Schritt 11.2.2

Dividiere $18984375$ durch $3125$ .

$\frac{4617}{6075}$

Schritt 11.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4617$ und $6075$ .

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Schritt 11.3.1

Faktorisiere $243$ aus $4617$ heraus.

$\frac{243 (19)}{6075}$

Schritt 11.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.3.2.1

Faktorisiere $243$ aus $6075$ heraus.

$\frac{243 \cdot 19}{243 \cdot 25}$

Schritt 11.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{243 \cdot 19}{243 \cdot 25}$

Schritt 11.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{19}{25}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{19}{25}$

Dezimalform:

$0.76$