Grundlegende Mathematik Beispiele

$\cos (θ) + \cos (3 θ) = 2 \cos (2 θ)$

Schritt 1

Subtrahiere $2 \cos (2 θ)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\cos (θ) + \cos (3 θ) - 2 \cos (2 θ) = 0$

Schritt 2

Vereinfache die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Benutze die Dreifachwinkelfunktion, um $\cos (3 x)$ in $4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)$ umzuformen.

$\cos (θ) + 4 \cos^{3} (θ) - 3 \cos (θ) - 2 \cos (2 θ) = 0$

Schritt 2.1.2

Wende die Doppelwinkelfunktion an, um $\cos (2 x)$ nach $2 \cos^{2} (x) - 1$ zu transformieren.

$\cos (θ) + 4 \cos^{3} (θ) - 3 \cos (θ) - 2 (2 \cos^{2} (θ) - 1) = 0$

Schritt 2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (θ) + 4 \cos^{3} (θ) - 3 \cos (θ) - 2 (2 \cos^{2} (θ)) - 2 \cdot - 1 = 0$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\cos (θ) + 4 \cos^{3} (θ) - 3 \cos (θ) - 4 \cos^{2} (θ) - 2 \cdot - 1 = 0$

Schritt 2.1.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\cos (θ) + 4 \cos^{3} (θ) - 3 \cos (θ) - 4 \cos^{2} (θ) + 2 = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $3 \cos (θ)$ von $\cos (θ)$ .

$- 2 \cos (θ) + 4 \cos^{3} (θ) - 4 \cos^{2} (θ) + 2 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere $- 2 \cos (θ) + 4 \cos^{3} (θ) - 4 \cos^{2} (θ) + 2$ .

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Schritt 3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \cos (θ) + 4 \cos^{3} (θ) - 4 \cos^{2} (θ) + 2$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \cos (θ)$ heraus.

$2 (- \cos (θ)) + 4 \cos^{3} (θ) - 4 \cos^{2} (θ) + 2 = 0$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $2$ aus $4 \cos^{3} (θ)$ heraus.

$2 (- \cos (θ)) + 2 (2 \cos^{3} (θ)) - 4 \cos^{2} (θ) + 2 = 0$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $2$ aus $- 4 \cos^{2} (θ)$ heraus.

$2 (- \cos (θ)) + 2 (2 \cos^{3} (θ)) + 2 (- 2 \cos^{2} (θ)) + 2 = 0$

Schritt 3.1.4

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$2 (- \cos (θ)) + 2 (2 \cos^{3} (θ)) + 2 (- 2 \cos^{2} (θ)) + 2 (1) = 0$

Schritt 3.1.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (- \cos (θ)) + 2 (2 \cos^{3} (θ))$ heraus.

$2 (- \cos (θ) + 2 \cos^{3} (θ)) + 2 (- 2 \cos^{2} (θ)) + 2 (1) = 0$

Schritt 3.1.6

Faktorisiere $2$ aus $2 (- \cos (θ) + 2 \cos^{3} (θ)) + 2 (- 2 \cos^{2} (θ))$ heraus.

$2 (- \cos (θ) + 2 \cos^{3} (θ) - 2 \cos^{2} (θ)) + 2 (1) = 0$

Schritt 3.1.7

Faktorisiere $2$ aus $2 (- \cos (θ) + 2 \cos^{3} (θ) - 2 \cos^{2} (θ)) + 2 (1)$ heraus.

$2 (- \cos (θ) + 2 \cos^{3} (θ) - 2 \cos^{2} (θ) + 1) = 0$

Schritt 3.2

Stelle die Terme um.

$2 (2 \cos^{3} (θ) - 2 \cos^{2} (θ) - \cos (θ) + 1) = 0$

Schritt 3.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$2 (2 \cos^{3} (θ) - 2 \cos^{2} (θ) - \cos (θ) + 1) = 0$

Schritt 3.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$2 (2 \cos^{2} (θ) (\cos (θ) - 1) - (\cos (θ) - 1)) = 0$

Schritt 3.4

Faktorisiere.

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $\cos (θ) - 1$ .

$2 ((\cos (θ) - 1) (2 \cos^{2} (θ) - 1)) = 0$

Schritt 3.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 (\cos (θ) - 1) (2 \cos^{2} (θ) - 1) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\cos (θ) - 1 = 0$

$2 \cos^{2} (θ) - 1 = 0$

Schritt 5

Setze $\cos (θ) - 1$ gleich $0$ und löse nach $θ$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $\cos (θ) - 1$ gleich $0$ .

$\cos (θ) - 1 = 0$

Schritt 5.2

Löse $\cos (θ) - 1 = 0$ nach $θ$ auf.

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Schritt 5.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\cos (θ) = 1$

Schritt 5.2.2

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$θ = \arccos (1)$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Der genau Wert von $\arccos (1)$ ist $0$ .

$θ = 0$

Schritt 5.2.4

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$θ = 2 π - 0$

Schritt 5.2.5

Subtrahiere $0$ von $2 π$ .

$θ = 2 π$

Schritt 5.2.6

Ermittele die Periode von $\cos (θ)$ .

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Schritt 5.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 5.2.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 5.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 5.2.6.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 5.2.7

Die Periode der Funktion $\cos (θ)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$θ = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 6

Setze $2 \cos^{2} (θ) - 1$ gleich $0$ und löse nach $θ$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $2 \cos^{2} (θ) - 1$ gleich $0$ .

$2 \cos^{2} (θ) - 1 = 0$

Schritt 6.2

Löse $2 \cos^{2} (θ) - 1 = 0$ nach $θ$ auf.

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Schritt 6.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 \cos^{2} (θ) = 1$

Schritt 6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 \cos^{2} (θ) = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \cos^{2} (θ) = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 \cos^{2} (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cos^{2} (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 6.2.2.2.1.2

Dividiere $\cos^{2} (θ)$ durch $1$ .

$\cos^{2} (θ) = \frac{1}{2}$

Schritt 6.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (θ) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.2.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 6.2.4.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{2}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ um.

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Schritt 6.2.4.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Schritt 6.2.4.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 6.2.4.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.4.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 6.2.4.4.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 6.2.4.4.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 6.2.4.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 6.2.4.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 6.2.4.4.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 6.2.4.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 6.2.4.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 6.2.4.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.2.4.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.4.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.2.4.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 6.2.4.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 6.2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 6.2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 6.2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 6.2.6

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $θ$ aufzulösen.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 6.2.7

Löse in $\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ nach $θ$ auf.

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Schritt 6.2.7.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 6.2.7.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.7.2.1

Der genau Wert von $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ ist $\frac{π}{4}$ .

$θ = \frac{π}{4}$

Schritt 6.2.7.3

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$θ = 2 π - \frac{π}{4}$

Schritt 6.2.7.4

Vereinfache $2 π - \frac{π}{4}$ .

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Schritt 6.2.7.4.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 6.2.7.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.2.7.4.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{4}{4}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 6.2.7.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$θ = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Schritt 6.2.7.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.7.4.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$θ = \frac{8 π - π}{4}$

Schritt 6.2.7.4.3.2

Subtrahiere $π$ von $8 π$ .

$θ = \frac{7 π}{4}$

Schritt 6.2.7.5

Ermittele die Periode von $\cos (θ)$ .

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Schritt 6.2.7.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 6.2.7.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 6.2.7.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 6.2.7.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 6.2.7.6

Die Periode der Funktion $\cos (θ)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$θ = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 6.2.8

Löse in $\cos (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ nach $θ$ auf.

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Schritt 6.2.8.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 6.2.8.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.8.2.1

Der genau Wert von $\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ ist $\frac{3 π}{4}$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Schritt 6.2.8.3

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$θ = 2 π - \frac{3 π}{4}$

Schritt 6.2.8.4

Vereinfache $2 π - \frac{3 π}{4}$ .

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Schritt 6.2.8.4.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Schritt 6.2.8.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.2.8.4.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{4}{4}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Schritt 6.2.8.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$θ = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Schritt 6.2.8.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.8.4.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$θ = \frac{8 π - 3 π}{4}$

Schritt 6.2.8.4.3.2

Subtrahiere $3 π$ von $8 π$ .

$θ = \frac{5 π}{4}$

Schritt 6.2.8.5

Ermittele die Periode von $\cos (θ)$ .

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Schritt 6.2.8.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 6.2.8.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 6.2.8.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 6.2.8.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 6.2.8.6

Die Periode der Funktion $\cos (θ)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$θ = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 6.2.9

Liste alle Lösungen auf.

$θ = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 6.2.10

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$θ = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 (\cos (θ) - 1) (2 \cos^{2} (θ) - 1) = 0$ wahr machen.

$θ = 2 π n, 2 π + 2 π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 8

Führe $2 π n$ und $2 π + 2 π n$ zu $2 π n$ zusammen.

$θ = 2 π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , für jede ganze Zahl $n$