Grundlegende Mathematik Beispiele

73

$73$ ,

79

$79$ ,

79

$79$ ,

79

$79$ ,

80

$80$ ,

81

$81$ ,

83

$83$ ,

85

$85$ ,

86

$86$ ,

87

$87$ ,

90

$90$

Schritt 1

Bestimme den Mittelwert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Der Mittelwert einer Menge von Zahlen ist die Summe dividiert durch die Anzahl der Terme.

¯ x = \frac{73 + 79 + 79 + 79 + 80 + 81 + 83 + 85 + 86 + 87 + 90}{11}

$\overline{x} = \frac{73 + 79 + 79 + 79 + 80 + 81 + 83 + 85 + 86 + 87 + 90}{11}$

Schritt 1.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Addiere

73

$73$ und

79

$79$ .

¯ x = \frac{152 + 79 + 79 + 80 + 81 + 83 + 85 + 86 + 87 + 90}{11}

$\overline{x} = \frac{152 + 79 + 79 + 80 + 81 + 83 + 85 + 86 + 87 + 90}{11}$

Schritt 1.2.2

Addiere

152

$152$ und

79

$79$ .

¯ x = \frac{231 + 79 + 80 + 81 + 83 + 85 + 86 + 87 + 90}{11}

$\overline{x} = \frac{231 + 79 + 80 + 81 + 83 + 85 + 86 + 87 + 90}{11}$

Schritt 1.2.3

Addiere

231

$231$ und

79

$79$ .

¯ x = \frac{310 + 80 + 81 + 83 + 85 + 86 + 87 + 90}{11}

$\overline{x} = \frac{310 + 80 + 81 + 83 + 85 + 86 + 87 + 90}{11}$

Schritt 1.2.4

Addiere

310

$310$ und

80

$80$ .

¯ x = \frac{390 + 81 + 83 + 85 + 86 + 87 + 90}{11}

$\overline{x} = \frac{390 + 81 + 83 + 85 + 86 + 87 + 90}{11}$

Schritt 1.2.5

Addiere

390

$390$ und

81

$81$ .

¯ x = \frac{471 + 83 + 85 + 86 + 87 + 90}{11}

$\overline{x} = \frac{471 + 83 + 85 + 86 + 87 + 90}{11}$

Schritt 1.2.6

Addiere

471

$471$ und

83

$83$ .

¯ x = \frac{554 + 85 + 86 + 87 + 90}{11}

$\overline{x} = \frac{554 + 85 + 86 + 87 + 90}{11}$

Schritt 1.2.7

Addiere

554

$554$ und

85

$85$ .

¯ x = \frac{639 + 86 + 87 + 90}{11}

$\overline{x} = \frac{639 + 86 + 87 + 90}{11}$

Schritt 1.2.8

Addiere

639

$639$ und

86

$86$ .

¯ x = \frac{725 + 87 + 90}{11}

$\overline{x} = \frac{725 + 87 + 90}{11}$

Schritt 1.2.9

Addiere

725

$725$ und

87

$87$ .

¯ x = \frac{812 + 90}{11}

$\overline{x} = \frac{812 + 90}{11}$

Schritt 1.2.10

Addiere

812

$812$ und

90

$90$ .

¯ x = \frac{902}{11}

$\overline{x} = \frac{902}{11}$

¯ x = \frac{902}{11}

$\overline{x} = \frac{902}{11}$

Schritt 1.3

Dividiere

902

$902$ durch

11

$11$ .

¯ x = 82

$\overline{x} = 82$

Schritt 2

Vereinfache jeden Wert in der Liste.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Wandle

$73$ in eine Dezimalzahl um.

$73$

Schritt 2.2

Wandle

$79$ in eine Dezimalzahl um.

$79$

Schritt 2.3

Wandle

$80$ in eine Dezimalzahl um.

$80$

Schritt 2.4

Wandle

$81$ in eine Dezimalzahl um.

$81$

Schritt 2.5

Wandle

$83$ in eine Dezimalzahl um.

$83$

Schritt 2.6

Wandle

$85$ in eine Dezimalzahl um.

$85$

Schritt 2.7

Wandle

$86$ in eine Dezimalzahl um.

$86$

Schritt 2.8

Wandle

$87$ in eine Dezimalzahl um.

$87$

Schritt 2.9

Wandle

$90$ in eine Dezimalzahl um.

$90$

Schritt 2.10

Die vereinfachten Werte sind

$73, 79, 79, 79, 80, 81, 83, 85, 86, 87, 90$ .

$73, 79, 79, 79, 80, 81, 83, 85, 86, 87, 90$

Schritt 3

Stelle die Formel für die Standardabweichung der Stichprobe auf. Die Standardabweichung einer Menge von Werten ist ein Maß für die Streuung ihrer Werte.

$s = \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{\frac{{(x_{i} - x_{a v g})}^{2}}{n - 1}}$

Schritt 4

Stelle die Formel für die Standardabweichung dieser Menge von Zahlen auf.

$s = \sqrt{\frac{{(73 - 82)}^{2} + {(79 - 82)}^{2} + {(79 - 82)}^{2} + {(79 - 82)}^{2} + {(80 - 82)}^{2} + {(81 - 82)}^{2} + {(83 - 82)}^{2} + {(85 - 82)}^{2} + {(86 - 82)}^{2} + {(87 - 82)}^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

Schritt 5

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1.1

Subtrahiere

$82$ von

$73$ .

$s = \sqrt{\frac{{(- 9)}^{2} + {(79 - 82)}^{2} + {(79 - 82)}^{2} + {(79 - 82)}^{2} + {(80 - 82)}^{2} + {(81 - 82)}^{2} + {(83 - 82)}^{2} + {(85 - 82)}^{2} + {(86 - 82)}^{2} + {(87 - 82)}^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

Schritt 5.1.2

Potenziere

$- 9$ mit

$2$ .

$s = \sqrt{\frac{81 + {(79 - 82)}^{2} + {(79 - 82)}^{2} + {(79 - 82)}^{2} + {(80 - 82)}^{2} + {(81 - 82)}^{2} + {(83 - 82)}^{2} + {(85 - 82)}^{2} + {(86 - 82)}^{2} + {(87 - 82)}^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

Schritt 5.1.3

Subtrahiere

$82$ von

$79$ .

$s = \sqrt{\frac{81 + {(- 3)}^{2} + {(79 - 82)}^{2} + {(79 - 82)}^{2} + {(80 - 82)}^{2} + {(81 - 82)}^{2} + {(83 - 82)}^{2} + {(85 - 82)}^{2} + {(86 - 82)}^{2} + {(87 - 82)}^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

Schritt 5.1.4

Potenziere

$- 3$ mit

$2$ .

$s = \sqrt{\frac{81 + 9 + {(79 - 82)}^{2} + {(79 - 82)}^{2} + {(80 - 82)}^{2} + {(81 - 82)}^{2} + {(83 - 82)}^{2} + {(85 - 82)}^{2} + {(86 - 82)}^{2} + {(87 - 82)}^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

Schritt 5.1.5

Subtrahiere

$82$ von

$79$ .

$s = \sqrt{\frac{81 + 9 + {(- 3)}^{2} + {(79 - 82)}^{2} + {(80 - 82)}^{2} + {(81 - 82)}^{2} + {(83 - 82)}^{2} + {(85 - 82)}^{2} + {(86 - 82)}^{2} + {(87 - 82)}^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

Schritt 5.1.6

Potenziere

$- 3$ mit

$2$ .

$s = \sqrt{\frac{81 + 9 + 9 + {(79 - 82)}^{2} + {(80 - 82)}^{2} + {(81 - 82)}^{2} + {(83 - 82)}^{2} + {(85 - 82)}^{2} + {(86 - 82)}^{2} + {(87 - 82)}^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

Schritt 5.1.7

Subtrahiere

$82$ von

$79$ .

$s = \sqrt{\frac{81 + 9 + 9 + {(- 3)}^{2} + {(80 - 82)}^{2} + {(81 - 82)}^{2} + {(83 - 82)}^{2} + {(85 - 82)}^{2} + {(86 - 82)}^{2} + {(87 - 82)}^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

Schritt 5.1.8

Potenziere

$- 3$ mit

$2$ .

$s = \sqrt{\frac{81 + 9 + 9 + 9 + {(80 - 82)}^{2} + {(81 - 82)}^{2} + {(83 - 82)}^{2} + {(85 - 82)}^{2} + {(86 - 82)}^{2} + {(87 - 82)}^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

Schritt 5.1.9

Subtrahiere

$82$ von

$80$ .

$s = \sqrt{\frac{81 + 9 + 9 + 9 + {(- 2)}^{2} + {(81 - 82)}^{2} + {(83 - 82)}^{2} + {(85 - 82)}^{2} + {(86 - 82)}^{2} + {(87 - 82)}^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

Schritt 5.1.10

Potenziere

$- 2$ mit

$2$ .

$s = \sqrt{\frac{81 + 9 + 9 + 9 + 4 + {(81 - 82)}^{2} + {(83 - 82)}^{2} + {(85 - 82)}^{2} + {(86 - 82)}^{2} + {(87 - 82)}^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

Schritt 5.1.11

Subtrahiere

$82$ von

$81$ .

$s = \sqrt{\frac{81 + 9 + 9 + 9 + 4 + {(- 1)}^{2} + {(83 - 82)}^{2} + {(85 - 82)}^{2} + {(86 - 82)}^{2} + {(87 - 82)}^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

Schritt 5.1.12

Potenziere

$- 1$ mit

$2$ .

$s = \sqrt{\frac{81 + 9 + 9 + 9 + 4 + 1 + {(83 - 82)}^{2} + {(85 - 82)}^{2} + {(86 - 82)}^{2} + {(87 - 82)}^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

Schritt 5.1.13

Subtrahiere

$82$ von

$83$ .

$s = \sqrt{\frac{81 + 9 + 9 + 9 + 4 + 1 + 1^{2} + {(85 - 82)}^{2} + {(86 - 82)}^{2} + {(87 - 82)}^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

Schritt 5.1.14

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$s = \sqrt{\frac{81 + 9 + 9 + 9 + 4 + 1 + 1 + {(85 - 82)}^{2} + {(86 - 82)}^{2} + {(87 - 82)}^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

Schritt 5.1.15

Subtrahiere

$82$ von

$85$ .

$s = \sqrt{\frac{81 + 9 + 9 + 9 + 4 + 1 + 1 + 3^{2} + {(86 - 82)}^{2} + {(87 - 82)}^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

Schritt 5.1.16

Potenziere

$3$ mit

$2$ .

$s = \sqrt{\frac{81 + 9 + 9 + 9 + 4 + 1 + 1 + 9 + {(86 - 82)}^{2} + {(87 - 82)}^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

Schritt 5.1.17

Subtrahiere

$82$ von

$86$ .

$s = \sqrt{\frac{81 + 9 + 9 + 9 + 4 + 1 + 1 + 9 + 4^{2} + {(87 - 82)}^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

Schritt 5.1.18

Potenziere

$4$ mit

$2$ .

$s = \sqrt{\frac{81 + 9 + 9 + 9 + 4 + 1 + 1 + 9 + 16 + {(87 - 82)}^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

Schritt 5.1.19

Subtrahiere

$82$ von

$87$ .

$s = \sqrt{\frac{81 + 9 + 9 + 9 + 4 + 1 + 1 + 9 + 16 + 5^{2} + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

Schritt 5.1.20

Potenziere

$5$ mit

$2$ .

$s = \sqrt{\frac{81 + 9 + 9 + 9 + 4 + 1 + 1 + 9 + 16 + 25 + {(90 - 82)}^{2}}{11 - 1}}$

Schritt 5.1.21

Subtrahiere

$82$ von

$90$ .

$s = \sqrt{\frac{81 + 9 + 9 + 9 + 4 + 1 + 1 + 9 + 16 + 25 + 8^{2}}{11 - 1}}$

Schritt 5.1.22

Potenziere

$8$ mit

$2$ .

$s = \sqrt{\frac{81 + 9 + 9 + 9 + 4 + 1 + 1 + 9 + 16 + 25 + 64}{11 - 1}}$

Schritt 5.1.23

Addiere

$81$ und

$9$ .

$s = \sqrt{\frac{90 + 9 + 9 + 4 + 1 + 1 + 9 + 16 + 25 + 64}{11 - 1}}$

Schritt 5.1.24

Addiere

$90$ und

$9$ .

$s = \sqrt{\frac{99 + 9 + 4 + 1 + 1 + 9 + 16 + 25 + 64}{11 - 1}}$

Schritt 5.1.25

Addiere

$99$ und

$9$ .

$s = \sqrt{\frac{108 + 4 + 1 + 1 + 9 + 16 + 25 + 64}{11 - 1}}$

Schritt 5.1.26

Addiere

$108$ und

$4$ .

$s = \sqrt{\frac{112 + 1 + 1 + 9 + 16 + 25 + 64}{11 - 1}}$

Schritt 5.1.27

Addiere

$112$ und

$1$ .

$s = \sqrt{\frac{113 + 1 + 9 + 16 + 25 + 64}{11 - 1}}$

Schritt 5.1.28

Addiere

$113$ und

$1$ .

$s = \sqrt{\frac{114 + 9 + 16 + 25 + 64}{11 - 1}}$

Schritt 5.1.29

Addiere

$114$ und

$9$ .

$s = \sqrt{\frac{123 + 16 + 25 + 64}{11 - 1}}$

Schritt 5.1.30

Addiere

$123$ und

$16$ .

$s = \sqrt{\frac{139 + 25 + 64}{11 - 1}}$

Schritt 5.1.31

Addiere

$139$ und

$25$ .

$s = \sqrt{\frac{164 + 64}{11 - 1}}$

Schritt 5.1.32

Addiere

$164$ und

$64$ .

$s = \sqrt{\frac{228}{11 - 1}}$

Schritt 5.1.33

Subtrahiere

$1$ von

$11$ .

$s = \sqrt{\frac{228}{10}}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von

$228$ und

$10$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Faktorisiere

$2$ aus

$228$ heraus.

$s = \sqrt{\frac{2 (114)}{10}}$

Schritt 5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1

Faktorisiere

$2$ aus

$10$ heraus.

$s = \sqrt{\frac{2 \cdot 114}{2 \cdot 5}}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$s = \sqrt{\frac{2 \cdot 114}{2 \cdot 5}}$

Schritt 5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$s = \sqrt{\frac{114}{5}}$

Schritt 5.3

Schreibe

$\sqrt{\frac{114}{5}}$ als

$\frac{\sqrt{114}}{\sqrt{5}}$ um.

$s = \frac{\sqrt{114}}{\sqrt{5}}$

Schritt 5.4

Mutltipliziere

$\frac{\sqrt{114}}{\sqrt{5}}$ mit

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$s = \frac{\sqrt{114}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Schritt 5.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.1

Mutltipliziere

$\frac{\sqrt{114}}{\sqrt{5}}$ mit

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$s = \frac{\sqrt{114} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 5.5.2

Potenziere

$\sqrt{5}$ mit

$1$ .

$s = \frac{\sqrt{114} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 5.5.3

Potenziere

$\sqrt{5}$ mit

$1$ .

$s = \frac{\sqrt{114} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 5.5.4

Wende die Exponentenregel

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$s = \frac{\sqrt{114} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Schritt 5.5.5

Addiere

$1$ und

$1$ .

$s = \frac{\sqrt{114} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 5.5.6

Schreibe

${\sqrt{5}}^{2}$ als

$5$ um.

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Schritt 5.5.6.1

Benutze

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

$\sqrt{5}$ als

$5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$s = \frac{\sqrt{114} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5.5.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s = \frac{\sqrt{114} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.5.6.3

Kombiniere

$\frac{1}{2}$ und

$2$ .

$s = \frac{\sqrt{114} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.5.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$2$ .

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Schritt 5.5.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$s = \frac{\sqrt{114} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.5.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$s = \frac{\sqrt{114} \sqrt{5}}{5}$

Schritt 5.5.6.5

Berechne den Exponenten.

$s = \frac{\sqrt{114} \sqrt{5}}{5}$

Schritt 5.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.6.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$s = \frac{\sqrt{114 \cdot 5}}{5}$

Schritt 5.6.2

Mutltipliziere

$114$ mit

$5$ .

$s = \frac{\sqrt{570}}{5}$

Schritt 6

Die Standardabweichung sollte auf eine Nachkommastelle mehr gerundet werden als die ursprünglichen Daten. Wenn die ursprünglichen Daten variierende Genauigkeit hatten, runde auf eine Nachkommastelle mehr, als es den Daten mit der geringsten Genauigkeit entspricht.

$4.8$