Grundlegende Mathematik Beispiele

$2 z^{3} - 16 z - 16$

Schritt 1

Faktorisiere $2$ aus $2 z^{3} - 16 z - 16$ heraus.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 z^{3}$ heraus.

$2 (z^{3}) - 16 z - 16$

Schritt 1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 16 z$ heraus.

$2 (z^{3}) + 2 (- 8 z) - 16$

Schritt 1.3

Faktorisiere $2$ aus $- 16$ heraus.

$2 z^{3} + 2 (- 8 z) + 2 \cdot - 8$

Schritt 1.4

Faktorisiere $2$ aus $2 z^{3} + 2 (- 8 z)$ heraus.

$2 (z^{3} - 8 z) + 2 \cdot - 8$

Schritt 1.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (z^{3} - 8 z) + 2 \cdot - 8$ heraus.

$2 (z^{3} - 8 z - 8)$

Schritt 2

Faktorisiere.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $z^{3} - 8 z - 8$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 2.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

Schritt 2.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

Schritt 2.1.3

Setze $- 2$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 2$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 2.1.3.1

Setze $- 2$ in das Polynom ein.

${(- 2)}^{3} - 8 \cdot - 2 - 8$

Schritt 2.1.3.2

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$- 8 - 8 \cdot - 2 - 8$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 2$ .

$- 8 + 16 - 8$

Schritt 2.1.3.4

Addiere $- 8$ und $16$ .

$8 - 8$

Schritt 2.1.3.5

Subtrahiere $8$ von $8$ .

$0$

Schritt 2.1.4

Da $- 2$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $z + 2$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{z^{3} - 8 z - 8}{z + 2}$

Schritt 2.1.5

Dividiere $z^{3} - 8 z - 8$ durch $z + 2$ .

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Schritt 2.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$z$

$2$

$z^{3}$

$0 z^{2}$

$8 z$

$8$

Schritt 2.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $z^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $z$ .

					$z^{2}$
	$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$

Schritt 2.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$z^{2}$
$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$
			+	$z^{3}$	+	$2 z^{2}$

Schritt 2.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $z^{3} + 2 z^{2}$

				$z^{2}$
$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$
			-	$z^{3}$	-	$2 z^{2}$

Schritt 2.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$z^{2}$
$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$
			-	$z^{3}$	-	$2 z^{2}$
					-	$2 z^{2}$

Schritt 2.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$z^{2}$
$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$
			-	$z^{3}$	-	$2 z^{2}$
					-	$2 z^{2}$	-	$8 z$

Schritt 2.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 2 z^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $z$ .

				$z^{2}$	-	$2 z$
$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$
			-	$z^{3}$	-	$2 z^{2}$
					-	$2 z^{2}$	-	$8 z$

Schritt 2.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$z^{2}$	-	$2 z$
$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$
			-	$z^{3}$	-	$2 z^{2}$
					-	$2 z^{2}$	-	$8 z$
					-	$2 z^{2}$	-	$4 z$

Schritt 2.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 2 z^{2} - 4 z$

				$z^{2}$	-	$2 z$
$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$
			-	$z^{3}$	-	$2 z^{2}$
					-	$2 z^{2}$	-	$8 z$
					+	$2 z^{2}$	+	$4 z$

Schritt 2.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$z^{2}$	-	$2 z$
$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$
			-	$z^{3}$	-	$2 z^{2}$
					-	$2 z^{2}$	-	$8 z$
					+	$2 z^{2}$	+	$4 z$
							-	$4 z$

Schritt 2.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$z^{2}$	-	$2 z$
$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$
			-	$z^{3}$	-	$2 z^{2}$
					-	$2 z^{2}$	-	$8 z$
					+	$2 z^{2}$	+	$4 z$
							-	$4 z$	-	$8$

Schritt 2.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 4 z$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $z$ .

				$z^{2}$	-	$2 z$	-	$4$
$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$
			-	$z^{3}$	-	$2 z^{2}$
					-	$2 z^{2}$	-	$8 z$
					+	$2 z^{2}$	+	$4 z$
							-	$4 z$	-	$8$

Schritt 2.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$z^{2}$	-	$2 z$	-	$4$
$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$
			-	$z^{3}$	-	$2 z^{2}$
					-	$2 z^{2}$	-	$8 z$
					+	$2 z^{2}$	+	$4 z$
							-	$4 z$	-	$8$
							-	$4 z$	-	$8$

Schritt 2.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 4 z - 8$

				$z^{2}$	-	$2 z$	-	$4$
$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$
			-	$z^{3}$	-	$2 z^{2}$
					-	$2 z^{2}$	-	$8 z$
					+	$2 z^{2}$	+	$4 z$
							-	$4 z$	-	$8$
							+	$4 z$	+	$8$

Schritt 2.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$z^{2}$	-	$2 z$	-	$4$
$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$
			-	$z^{3}$	-	$2 z^{2}$
					-	$2 z^{2}$	-	$8 z$
					+	$2 z^{2}$	+	$4 z$
							-	$4 z$	-	$8$
							+	$4 z$	+	$8$
										$0$

Schritt 2.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$z^{2} - 2 z - 4$

Schritt 2.1.6

Schreibe $z^{3} - 8 z - 8$ als eine Menge von Faktoren.

$2 ((z + 2) (z^{2} - 2 z - 4))$

Schritt 2.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 (z + 2) (z^{2} - 2 z - 4)$